Passons à l'équation

Tt—dJ^' ^^^

en développant l'intégrale suivant les puissances de /, et en conservant les mêmes notations que ci-dessus , on aura

(1).=?'*' (S).^"?"^' (Sl=^""' «*^-'

d'oïl

u =<fx -f- - . fx H . ç'^o; H 5 . ç'* :c+etc. (4)

On ne peut plus, comme tout à l'heure, revenir de la série à une intégrale sous forme finie, du moins de la nature de celles que nous avons rencontrées jusqu'ici; mais, toutes les fois que la série est convergente, elle détermine la valeur de u en fonction des variables indépendantes .r, t; et cette valeur lie dépend que de la fonction arbitraire <p qui doit être assignée dans chaque cas particulier.

Par un procédé absolument semblable on trouverait pour la valeur de u^ développée suivant les puissances de .r,

Les fonctions ^^, vit restent toutes deux arbitraires, et désignent respectivement ce que deviennent les valeurs

de w, -7-, quand on y fait x=: o.

Pour montrer que les intégrales (4)i(5) rentrent l'une dans l'autre , quoique la première ne renferme que la fonction arbitraire <fa: et ses dérivées, tandis que la seconde dépend des deux fonctions arbitraires ^ty 'àt, M. Poisson développe les fonctions ^t^ xSt suivantes puissances de t^ et il pose en conséquence

etc.

k=îA+B-+C hD 5 +

Trf^=A' + B'-+G— +D'— ^ + etc.

L'équation (5) devient alors

INTjtGR4TION PAR LES SÉRIES. 399

M=A + A'- + B— +B' 5 + 0 5-r4- etc.

+ (G + C- + etc.) 4- etc.

Maintenant, si l'on désigne par (fx, comme cela est permis, la fonction arbitraire

A + A'- + B hB' — ^ + G — ï^— + etc. ,

le second membre de Tëquation précédente se confondra avec la série (4).

552. Le théorème de Maclaurin donne encore pour Tintégrale de l'équation

développée suivant les puissances de ty

M==^+- • \^dx'\ • / {f^da^-\ tA j l(fxda^+etc.y(y)

et sous cette forme l'intégrale ne semble dépendre que de la fonction arbitraire <fx qui représente la valeur de u pour ^ = 0. Mais il faut observer que chacune des intégrations, en nombre infini , indiquées dans le développement, introduit une constante arbitraire, et que le système de ces constantes, multipliées respectivement par des facteurs variables, équivaut à une autre fonction arbitraire. En effet l'on peut écrire :

(pj; = A + Ç,^,

/(fa:da:*=zB + A - + 9,x, /f<^dx^ = G + B - + A h 93^:,

^ça:^5 «= D + G f + B -j-^ + A :;-i-^ + ç^^^ etc..

400 LIVRE Vir. CHAPITRE IV.

Â, 6, C, D, etc. y désignant des constantes arbitraires, et (f^Xy i^^Xj Ç3X, etc« , des fonctions qui s'évanouissent avec X. Par la substitution de ces valeurs dans la formule précédente, il vient :