Soit l'équation du se4)ond ordre

l'équation (f ) devient p*=fl^a*, d'où ces deux valeurs de P : p'zmaa, P''= — «a. A chaque valeur de p correspondent deux séries distinctes, propres à vérifier la proposée, et qui en sont des intégrales particulières : ia somme de ces deux séries compose l'intégrale génerale

équivalente à l'intégrale sous forme finie

u = (f{x + at) + i/{x — ai) y ( 1 1 )

qui ne diffère que par le choix des lettres, de la formule (a) du n^ 539.

D'après cette analyse, l'intégrale générale de la proposée doit s'obtenir sous forme finie et renfermer n fonctions arbitraires distinctes, lorsque f (a,p) se décompose en n facteurs linéaires p — (fla-|-é), et en particulier lorsque la fonction f est homogène par rapport aux indéterminées a, p, ou lorsque l'équation linéaire aux différences partielles ne renferme que des différences partielles du même ordre [544]-

Les deux fonctions arbitraires f , i/ qui entrent dans rintégrale (1 1), se déterminent sans difficulté lorsqu on

lUXiGRATIOlC PAR LES SÉRIES. 405

assigne deux fonctions^, £r, dont la première représente la valeur de u et la seconde celle de ■-=- , pour t=o. Effectivement, d'après ces données, on a

Par l'intégration de la seconde de ces équations, il vient

çj? - ^Jiart=3 -/ fruste c= For + c.

Fit désignant une fonction connue de Xj et c une constante arbitraire.

De là on tiré 9ar=7(/j: + Fa: + c), 4jr=7(/;r— Fjr — c), et par suite

^=t[/(^+^0 +f{x—at) h^{x+at)—¥{x^at)], (12) la constante arbitraire c ayant disparu. 557. Reprenons l'équation déjà traitée

du çPw

dt — dx^' ^^^

pour laquelle l'équation (f) se réduit à p=a\ Suivant qu'on se sert de cette équation pour chasser les coefficients ^ ou les coefficients a, on a les deux développements

u = S . cvv^p^+p»'+ S . Ce- Vr +P\ ^ 1 4)

Si l'on développe la série (i3) suivant les puissances de r, il vient

ttz=2.C^H — .S.Ca'^H .2.CaV* + etc.,

développement qui se confond avec la série (4)^ quand

on pose 2. C^=(pj:, la fonction arbitraire çj; désignant

toujours la valeur de w, pour t=o> •

406 LIVRE vil. CHAPITRE IV.

On trouverait de méme^ ea développant le secoDcl membre de lequatioa (i4) suivant les puissances de X :

+ — .(2.Cp'eP''4-2.C"pV"0

H ^.(Ï.C'PV?*'''— S.Cp'iXptff"') + etc.

Si maintenant on pose

<|rf=2.C'«>''+2.CV"',

trfr = 2 . C Vp'c»" — S . C l/fî«»"',

on retombera sur la série (5). Pour montrer que les deux fonctions ^^xi sont arbitraires et indépendantes l'une de l'autre, nous ferons

d'où

trfr=v/-^n/. (i6)

A la place de cette dernière équation l'on peut écrire

%i\t=Wt — m, (17)

Xij'^^tant une fonction qai dérive de tjpar une opération inverse de celle au moyen de laquelle les fonctions ^,9 n^i dérivent respectivement des fonctions V,n ('). On tire dés équations ( 1 5) et ( 1 7) :

(') De l'équation l.CeP'^z=zWt on tire

INTiGRATIOJX PAR LES SBRliîS. 407

en sorte que, quelles que soient les fonctions ^^xi qui peuvent être choisies arbitrairement, les fonctions W^ U^ et par suite les séries S. CV'V Î.C'V" se trouvent t'Rujours délerminées*

Si Ton avait développe la série (i3) suivant les puissances de Xy on aurait eu

iT .. *••

et ce développement coïncide encore avec la série (5) quand on pose

mais alors les deux fonctions ^^ xi ne sont plus indépendantes : on a entre elles une relation qui, suivant la notation ci-dessus employée, s'exprimerait par xit=^^ ou rà^t=^t; ce qui revient au^si à supposer nulle la fonction n dans les équations (i 5) et (17). Couséquemment la série (i3) doit être considérée, ou comme l'intégrale générale de l'équation (3), ou simplement comme une intégrale particulière, selon que cette série est conçue

n désignant un nombre positif et entier quelconque. On peut écrire par analogie

et, en vertu de cette notation , remplacer les équations (16) et (17) par les suivantes :

xit=2 ^ — ; — i., Aï; rit.dt* = ve — m.

Le calcul des différentielles et des intégrales à indices fractionnaires , qdmis comme une conséquence du développement des fonctions en séries d'exponentielles, est l'objet d'un mémoire important de M. Liouville, inséré dans le 21* cahier du Journal de V École polytechnique.

408 LIVRB VII. CHAPITHB IV.

ordonnée suivant les puissances de t ou suivant les puissances de X : ce qui revient à déterminer les paramètres arbitraires qu'elle renferme, au moyen de la valeur de u en fonction de x pour t=Oy ou au moyen des valeurs de

w et de -T- en fonction de t pour x=o.

Nous ignorons si Ion a remarqué cette singulière propriété de certains développements, de représenter à la fois une intégrale générale et une intégrale particulière. Cette remarque contredit même Tassertion avancée par mégarde par M. Poisson (*), que l'on peut développer la série (i3) de manière à la rendre identique avec la série (5).