etc

et si on la développe suivant les puissances de j^, il vient

2 = YxH-'^ ^ 4- etc.; (0)

en sorte qu'elle dépend dans le premier cas des deux fonctions arbitraires ^ , xj , et dans le second de la seule fonction arbitraire j.

Si l'on considère l'intégrale , au point de vue géométrique , comme l'équation d'un ordre ou d'une famille de surfaces , on pourra dire que l'intégrale singulière (8) a autant d^ étendue que l'intégrale générale donnée par la série (9) : car, pour particulariser l'équation (8), il faut se donner la courbe ^=9^ suivant laquelle la surface coupe le plan des /«; et de même T. !i. 26

pour particulariser Tëquation (9) , il suffit de se donner la courbe z = yjr qui est rinterâection de la isarface avec le plan des xz. Les deusL équations caractérisent donc deux familles distinctes de surfaces, dans chacune desquelles les surfaces individuelles sont déterminées par des conditions de même nature et en même nombre. 554. Le développement des intégrales en séries , par l'emploi des formules de Taylor ou de Maclauriu, ou par la méthode plus générale des coefficients indéte^ minés, indiquée en premier lieu , mène pour l'ordinaire à des calculs pénibles ou ïnême inextricables, lorsque l'équation qu'il s'agit d'intégrer n'est pas linéaire, ainsi qu'on en jugerait d'après l'exemple du n^ précédent, si l'on voulait prolonger le développement au delà du troisième terme. Au contraire, le développement delmtégrale en série prend une forme aussi simple que remarquable, lorsque l'équation aux différences partielles est linéaire, à trois variables indépendantes , à coeiScients constants, et quand elle ne contient pas les variables indépendantes dans un dernier terme , indépendant de la fonction et de ses dérivées partielles.

Désignons en effet par u la fonction , et par x,t\es variables indépendantes : si l'on substitue dans l'équation proposée la valeur

C désignant une côtistante arbitraire et a, p des paramètres indétenDinés , l'exponentielle et la constante C qui la multiplie s'en iront comme facteurs communs: il restera une équation algébrique

à laquelle devront satisfaire les indéterminées a, P, pour que l'équation (C) soit une intégrale particulière delà

I?fT£GRATIO]y PAR I.K$ SERIES. 403

proposée. Celle-ci , à Cause de sa forme linéaire ^ sera donc satisfaite quand on y substituera pour u la somme d^un nombre infini de valeurs particulièr4^s telles que (C), ou la série

que nous désignerons ordinairement, pour abréger, par

et dans laquelle il n*y aura d'arbitraires que les coefficients C, a; le^ nombres ^ se trouyant déterminés en fonction des nombres oe, au moyen de Téquation (f ). 555. Appliquons ceci à l'équation linéaire du premier

ordre

du du ,

at dx

l'équiation (f ) aura la forme ^-z^zati-^-b ; de sorte qu'on

satisfait à la proposée en prenant

Pour ^= o , cette série donne

Soit donc ^x une ^smctioD telle <]ue, si on la développait en série d'expopentielles[j[i4]9 ^^^ aurait

la valeur générale de u sera , squs forme finie ,

eomme cela résulte par un ehangem^it de lettres de la formule (3) du n"" 529. Ija fonction 9 reste arbitraire ^ à cause de l'indétermination des coefficients C, a : elle sera déterminée, si l'on assigne la valeur de i/ en fonction de Xy pour ^=0.

Quand on fait é=o, on retombe sur l'équation (a). En général , si l'on a une équation aux dififérences partielles de la forme

404 LfVRE VII.' CHAPITRE IV.

\u\ désignant j pour abréger^ une fonction linéaire des dérivées partielles de u^ par rapport aux variables x^fj Zy,. autres que tj on posera u=çe^% et Ton aura la transformée en (^