C — z=if(fxdxj 2. T'=Xf9^^f ^'^'J oc a
se trouvent aussi déterminés complètement; en sorte que les constantes arbitraires qui entrent dans les intégrales
(') Théorie de la chaleur, p. iSq.
Jifxdx^JJ(fxdx^^ etc., sont elles-mêmes complètement déterminées. Par conséquent, la série (i8) ne donne qu^une intégrale particulière de Téquatlon (6), et non pas une intégrale générale ou complète, comme on le lit à la page 149 àe l'ouvrage cité tout à l'heure. L'équation (6) serait également vérifiée si l'on prenait
iic=3 A sin (a:F+ ^t) + B cos [eux + p^),
pourvu qu'on eût entre les paramètres a, p l'équation de condition oLf^-^ç-izi^o, Donc on satisfera à l'équation (6) en posant
«=2 Asinf cur j + BcosTour j lî
mais ce ne sera encore qu'une intégrale particulière de la proposée; et lors même qu'on écrirait
Il = 2. A sin f tf!x 7 j-l- S.Bcosf a^x j j»
l'intégrale, ainsi qu'il est facile de s'en assurer, n'aurait pas plus de généralité.
559. En général, comme les constantes arbitraires C,a,P peuvent être supposées imaginaires aussi bien que réelles, il est clair qu'à toute série d'exponentielles il est permis de substituer une série de sinus et de cosinus, et réciproquement. La nature du problème détermine la nature des fonctions qui doivent rester dans la solution finale, après qu'on a déterminé toutes les constantes artraires et fait évanouir les signes d'imaginarité.
Si l'équation (f) était telle que les paramètres a, ^ ne pussent pas être réels en même temps, on serait par là même averti de la nécessité d'introduire dans la série des fonctions circulaires à la place de certaines exponentielles. Ce cas s'offrirait pour l'équation
à laquelle se réduit l'équation (lo) quand on donne à la constante a la valeur J/ — i. On y satisfait en
posant
« = S . (A' sin a'd? -i- B' cos a'j-)e*''
+ LfA^sina^^H- B" cos a''x>-«:\
Désignons par/ir et par £2:;=-j~ les valeurs de u et de
du
— pour t= o : on aura
2.(A'sina';r+B'co5a'x)=^(/ar-4-Far + c), J 2;.(A''sina''jr+B''cosa''a:)=^(/jr — Far— c), [ ^^°^
cl indiquant Une constante arbitraire; et quelles que soient les fonctions /| F, mathématiques ou empiriques, pourvu qu'elles ne deviennent poiut infinies, on pourra, d'après les formules du chapitre XII du cinquième livre, déterminer tous les coefficients A', B',a'; A",B'\a", de manière à satisfaire aux équations précédentes, au moins pour les valeurs de x comprises entre des limites données.
L'intégrale sous forme finie de l'équation (19) serait, d'après la formule {1^)9
la caractéristique F ayant la même signification que dans les équations (ao); et cette intégrale devient illusoire, du moins pour le calcul numérique des valeurs dew, lorsque les fonctions/, F n'ont pas d'expressions algébriques dans lesquelles on puisse substituer les va-
mTKGR/VTIOW PAR LES SÉRIES. 411
leurs orifc^l/ — i, de manière à faire disparaître les signes d'tmaginarité.
560. Les équations aux différences partielles, linéaires et à coefficients constants, s'appliquent surtout à des problèmes de mécanique et de physique mathématique, dans la résolution desquels il est permis de négliger^ à cause de leur petitesse, les produits et les puissances supérieures de certaines quantités variables. Pour détennilier les fonctions arbitraires qui entrent dans les intégrales, il faut assigner les valeurs initiales de certaines fonctions dans Tétendue limitée d'un système matériel à une, deux ou trois dimensions : rien n'assujettit d'ailleurs ces fonctions à comporter une expression mathématique; elles doivent seulement, dans l'étendue du système matériel pour lequel elles sont données, conserver des valeurs déterminées et finies, parce qu'elles mesurent des grandeurs physiques, essentiellement finies et déterminées. Les formules du chapitre XII du cinquième livre, et toutes celles qui sont propres à représenter dans une étendue limitée une fonction quelconque, mathématique ou empirique, s'appliquent donc essentiellement au développement des intégrales des équations aux différences partielles, dans lesquelles les fonctions arbitraires doivent être déterminées d'après des données physiques. Au contraire, les développements en séries d'exponentielles ne sont applicables que quand les fonctions ar^ bitraires initiales comportent une expression analytique; et alors, sauf l'exception résultant de la divergence des séries, ils représentent tes fonctions développées pour toutes les valeurs possibles des variables.
561. L'équation la plus simple à laquelle on puisse appliquer ce que nous venons de dire sur la détermina*
412 LIVRB VJI. GHAPITHE lY.
tion des fonctions arbitraires d'après des données physiques, est réquation des cordes vibrantes [SSg]
dans laquelle t désigne le temps, x l'abscisse d'un point de la corde en mouvement, u l'ordonnée de ce point qui serait nulle dans l'état de repos, et a un coefficient qui dépend de la tension, du poids et des dimensions de la corde. Les deux extrémités de la corde vibrante ayant pour abscisses a:=o et a:=/, et ces deux extrémités
étant fixes, les valeurs de e^ et de -7- sont nulles pour
x=o et .z:r=/, quel que soit t : à l'origine du mouvement, et pour les valeurs de x comprises entre o et /^ on a
az=^, =£r, les fonctions^, £r étant assujetties à la condition d'avoir des valeurs finies et déterminées.
On satisfait à l'équation (21) en prenant
u =: 2(A sin adt + B cos aa/) sin oor; (aa)
et si l'on pose
/ désignant un nombre entier quelconque, on satisfait à la condition que les fonctions Uj -j- s'évanouissent pour
^ = 0 et pour ^=/, quel que soit t. L'équation (aa) devient
a==2( A sm — ^ — h B cos -y- j sm -y- >
et il ne s'agit plus que de déterminer les coefficients A, 6 en fonction de l'indice /. Pour indiquer cette dépendance, nous écrirons A|, B, au lieu de A, B.
IIITI^GRATION PAR LES SÉRIES. 413
Or, d'après les conditions exprimées, il vient
