CONSTRUCTION DES ÉQUAT. AUX DIFF. PARTIELLES

aux différences partielles à laquelle elle satisfait, doit contenir une fonction arbitraire de deux quantités variablesy dont on puisse disposer pour que la fonction a se réduise à une fonction donnée de deux des variables Xjj^z, lorsqu'on assigne à la troisième variable une certaine valeur particulière.

La même chose se voit par la considération des surfaces de niveau [1^9]. Concevons, en effet, qu'on ait ti'acé dans l'espace une première surface de niveau

pour laquelle la fonction u ait une certaine valeur particulière, telle que zéro : on aura, pour les points {xyf^z) qui appartiennent à cette surface,

I du du 1 du

p dx dz <l dy ^ "^

p^q désignant les valeurs de — ? -^, qui se tirent de

l'équation (y). Les équations [c] et (y') détermineront donc, pour les points en question, les valeurs des

trois dérivées partielles — ? — j -j-, et, par suite, celle

dûc viy cLTr

du radical

Si maintenant on élève en chaque point de la surface (y) une normale à cette surface , et qu'on prenne sur chaque normale une longueur égale à la quantité trèspetite du premier ordre —-, on tracera dans l'es-

pace (aux quantités près du second ordre) une seconde surface, de niveau, pour laquelle la fonction u aura la valeur Aw [129, i5i et a38]. Par la continuation du

438 LIVRE VIÏ. CHAPITRE Vf.

roéme procédé ^ on bonstruira la fonction u^ en construisant la série de ses surfaces de niveau.

578. Une équation aux difîérences partielles du second ordre, entre la fonction z et les variables indépendantes Xy/j est, dans le cas le plus général, de ta forme

Admettons d'abord qu'elle se réduise à si on la met sous la forme

on s'en servira pour construire comme précédemment [575] la fonction z , après avoir assigné arbitrairement la valeur z^=r(fXj pour^=o.

Mais si l'on résout la même équation (d) par rapport à r, et qu'elle devienne

on construira de proche en proche les valeurs de z pour .ir=Ax, x=rzixlix, x=z3i^y etc., en se donnant arbitrairement les fonctions de / qui expriment les valeurs de

dz z et de/? = -j- pour ^ = o. Car, soient i(x ^^ '^ ces

deux fonctions arbitraires, on aura : pour x=:o,

d'où, aux quantités près du second ordre,

D'ailleurs, les fonctions 2 et ^, qui ont pour valeurs ^/ et ij^y, quand x est mil, deviennent, pour x:=A^, toujours au même degré d'approximation,

CONSTRUCTIOlf DES ÉQUAT. AUX DIFF. PARTIELLES. 439

Maintenant, pour x=2Aa:» la valeur de z est

et, en continuant de proche en proche le même calcul ^ on déterminerait la série des valeurs de z.

On voit donc que l'équation en x,)r^z qui satisfait avec toute la généralité possible à l'équation {d)^ peut contenir une ou deux fonctions arbitraires, selon que ces fonctions arbitraires doivent être déterminées par des conditions relatives aux valeurs initiales àe Xy ou par des conditions relatives aux valeurs initiales de jr. Ce fait d'analyse, qui a presque semblé paradoxal, la première fois qu'on en a fait la remarque sur l'équation r==q [55 1], s'explique donc trè&-simplement par la nature des équations aux différences partielles.

579. Admettons présentement que la dérivée s entre dans l'équation proposée qui aura la forme

S'il s'agit de construire la fonction , au moyen de sa valeur initiale 2=r(p^, pour ^=0, la substitution de cette valeur initiale donnera

V[^, o, ffx, <f% q, i'x, ^ J = o, (e)

équation différentielle du premier ordre, d'où Ton peut tirer par l'intégration la valeur initiale de q en fonction de X. L'expression de cette valeur initiale dépend de la fonction arbitraire 9^, et contient, en outre, une constante arbitraire introduite par l'intégration ; ce qui revient à dire que, pour la construction de la fonction ^, il faut se donner, outrie la fonction <px, la valeur numérique de q relative à^=o et à a: =0, ou à toute autre valeur particulière de x. Soit qz=.^{xf^ la valeur de q en

440 LIVRE vu. CHAPITRE Vï.

fonction de x et de la constante arbitraire C ^ obtenue par Tintégration de l'équation (e) : on aura, pour^-=Aj', aux quantités près du second ordre ,

Pour la même valeur de ^, on aura y=*, («^yC»), C, désignant une nouvelle constante arbitraire, amenée par l'intégration de Téquation

et ainsi de suite. La série des constantes arbitraires C, C, , etc., peut être considérée comme une fonction arbitraire de ^, qui doit être donnée, ainsi que la fonction <fXj afin qu'on puisse construire la fonction z^ assujettie à vérifier l'équation (e\

Si l'on donnait, pour j^irro, les valeurs initiales z= ^, p z=z xSj-f on aurait en même temps

(*t l'on rentrerait dans le cas traité au' n"" précédent.

Enfin j si la dérivée t entre dans l'équation proposée aussi bien que r, la symétrie se trouvera rétablie, et le mode de copstruction sera le même , soit qu'on résolve l'équation par rapport à r ou par rapport à t.

Cette discussion s'étendrait aisément aux équations des ordres supérieurs, où le nombre des variables indépendantes serait quelconque.

580. il convient de remarquer que, si le temps est l'une des variables indépendantes, c'est par rapport aux valeurs initiales de cette variable que doivent toujours être censées données les fonctions arbitraires exigées pour la construction de l'équation aux différences partielles. Par exemple, pour la construction de l'équation