CONSTRUCTION DES ÊQIIAT. AUX DIFF. PARTIELLES

du d^U , .

où u désigne la température au bout du temps t, de la tranche d'une barre cylindrique qui correspond à l'abscisse x [662], il faut admettre qu'on donne la fonction w=<p.i: qui exprime la loi des températures de la barre, quand t a une valeur déterminée, telle que zéro. Abstraction faite de la signification des lettres w, .r, t^ on pourrait sans doute construire la même équation en assignant les valeurs ^t et xit de w et de —

pour une valeur déterminée de x, telle que a:=o: mais il répugne que Ton ait pour données du problème les fonctions ^t et fit; et, au contraire, la série des valeurs de u est essentiellement déterminée en vertu de l'équation (i), jointe à la condition initiale w=ç.r. Ceci est une conséquence de l'attribut de la variable t sur lequel nous avons maintes fois insisté, celui d'être indépendante par essence, et non en vertu d'une convention arbitraire.

Les procédés exposés ci-dessus seraient sans doute presque inapplicables dans la pratique : mais cette exposition a pour but de faire comprendre ce que représente en soi une équation aux différences partielles, qu'elle comporte ou non une intégrale analytique.

581. Tous ces procédés de construction arithmétique exigent que les dérivées conservent des valeurs finies. Soit, par exemple, l'équation

([ui appartient [^54] aux surfaces de révolution autour d'un axe perpendiculaire au plan ary, et qui coupe Taxe

442 LIVRE vil. CHAPITRE VI.

des^en un point dont la distance à l'origine est désignée par jv, ' on mettra cette équation sous la forme

et , en supposant qu'on donne la valeur

z = (par, (3)

pour^=:o, on pourra appliquer le procédé de construction du n^ 570, mais pourvu qu'entre les limites de la construction x ne s'évanouisse pas, ce qui rendrait infinie la valeur de q. Effectivement nous avons remarqué [2 56] que la courbe méridienne d'une surface de révolution autour d'un axe donné, n'est pas, en général, déterminée dans toute l'étendue de^ son cours, parce qu'on donne la courbe d'intersection de la surface avec un plan tel que le plan xz; et que, par conséquent, la surface même ne l'est pas dans toute son étendue. D'après la direction que nous attribuons ici à l'axe de révolution, si l'on mène des plans parallèles auplanx^, par les points où la courbe (3) coupe l'axe des z, la portion de la surface de révolution comprise entre ces plans est la seule que détermine le système des équations (2) et (3). A la rigueur, la construction du n^ 5^5 ne donne même pas toute cette portion de surface, mais celle qui est comprise entre d'autres plans parallèles au plan xj-j et aussi rapprochés qu'on le veut de ceux qui ont été menés par les points où la courbe (3) coupe l'axe des z. La solution de continuité^ correspondant à /r=o, est là pour empêcher que la construction ne puisse s'étendre à des portions de surface qu'en effet les ^lonnées de la construction , savoir les équations (2] et (3) , ne doivent pas déterminer.