I II
A,a + A,a* + Aja' + etc. = h"
FORMULA 1>'eULER. 461
Or, le dernier membre de cette équation est évidemment une fonction impaire de a : donc , dans la série qui est le développement de cette fonction impaire , les coefficients des puissances paires de a doivent disparaître. Donc, pour toutes les valeurs paires de l'indice «, autres que zéro , le coefficient A, est nul.
Si l'on effectuait le développement dont il vient d'être question , on obtiendrait l'expression de A| en fonction immédiate de l'indice / : mais nous n'insisterons pas sur ce calcul compliqué, quoique élégant; les coefficients A, pouvant être comipodément calculés de proche en proche au moyen des équations (À) dont la loi est évidente.
Comme les coefficients A,,-^, sont alternativement positifs et négatifs, nous mettrons l'équation (i) sous la forme
+ AsAr^ - px — etc. , (2)
C désignant la constante arbitraire qu'entraînent les signes d'intégration indéfinie 2 et y! Alors les lettres Aa,^, représenteront toutes des nombres positifs. 593. Si l'on pose
Baj^., = I . a . 3 . . . . (2/ H- 2) . Aai+i , la suite des nombres B„.|.^ est celle des nombres de Ber^ rwulli, ainsi appelés parce que Jacques BernouUi les a signalés le premier à l'attention des analystes. Cette suite de nombres revient souvent dans les développements en séries, et jouit de propriétés curieuses par rapport aux sommes des puissances , tant directes qu'inverses , des nombres naturels. Prenons , par exemple , f3C==j^ : l'équation (2) nous donnera
462 LIVRE Vltl. — CHAPITRE II.
mCm — i)(m — a)Aa:^ ^ , .
. -^' ,...3.4 ""-^+*^'^-' ce qui met ea évidence la loi des formules (m) du n^ La suite
A, — A3 + As — A, + etc.
est convergente, mais la suite
B, — B3 + B5 — B^ + etc.
ne l'est pas : les nombres B^:^^ croissant au delà de toute limite. Voici les valeurs des premiers termes de cette suite, exprimées en fractions ordinaires et décimales :
Bi=^ ==0,166666 ,B9= ^ =0,075757....,
B3=^-==o,o33333. . . .,B„=— ^— =:o,253ii3- . . ., 3o , 2730
B5=-7-=o,o238q9. . . ., Bi3=: 2 =15166666. . . ., 4^ o
B.j=:^-^=o,o33333. . . ., B,5=-p--2 ==7,0921 56. . . ., ctc,
594. Admettons que l'intervalle x — x^ soit un multiple exact de la différence A.r : on tire de l'équation (a), en passant des intégrales indéfinies aux intégrales définies ,
2lA=^7/^^'' -^-/"^ - -^"^"^ + A.Ax(/>-/xo) ~A,A/(/'''x—f^\\+A,àa:'U^^ (3)
La formule (2), communément attribuée à £uler, et désignée par le nom de ce géomètre, ou la formule (3) qui en est une transformation, comportent une double application, selon que l'intégrale jfJCriafcix est ou n'est pas
poRiiuLE d'eijlbr. 463
susceptible de s'exprimer en fonction de x sous«forme finie. Dans le premier cas, il arrivera le plus souvent que l'intégrale ^x^foo ne rentrant pas dans la catégotie de celles auxquelles s'appliquent les procédés (fuit^[ratioD indiqués ci-dessus , on n'en poariail obtenir la valeur exacte que par une sommatk»! eifTective ^ opération laborieuse et souvent impraticable, si la différence a; — Xo contient un très^graiid nombre de fois la différence A.r. On regardera^ èiàiM ce cas, le terme
hp""^
comme une valeur approchée de l'intégrale ^"^fx^ et la correction qu'il faut apporter à cette valeur approchée sera donnée en série par la formule (3). Si, au contraire, on ne peut pas obtenir en fonction de x l'intégrale indéfinie jÇ^, et qu'il s'agisse de calculer par approxi- ^mation la valeur de l'intégrale définie
fxdx ,
on partagera l'intervalle x—x^ en parties égales A.r, assez petites pour que le produit
fournisse une valeur approchée de l'intégrale cherchée ;
de manière pourtant que la grandeur du nombre — -r — -*"
ne rende pas trop laborieuse la sommation arithmétique par laquelle on obtient 2^^ fx. La correction que doit subir cette valeur approchée sera encore donnée en série par l'équation (3) qui remplit ainsi le double office d'une formule de sommation et d'une formule de quadrature.
Si nous substituons le signe S au signe 2, selon la notation convenue [585] , nous aurons, au lieu des formules (a) et (3),
+ AgA^ . px — etc. , (4j
A3Aa^V'^-/'''^o)+A3A^V'^-y>a;o)— etc. (6) 595. Toutefois , pour légitimer , en général j l'emploi de ces séries qui ne sont pas toujours convergentes , il est indispensable de pouvoir assigner des limites à l'erreur que l'on commet en arrêtant la série à un terme de rang quelconque [a 5]. Or, M. Poisson a donné une méthode par laquelle, en même temps qu'on obtient la série d'Euler, on trouve l'expression en intégrale définie du reste de la série, et par suite la limite du reste. L'importance du sujet nous fait une loi d'indiquer ce perfectionnement essentiel , apporté à une formule fondamentale de l'analyse.
Admettons, pour la simplicité des calculs, que les limites des intégrales dans la formule d'Euler soient égales numériquement et de signes contraires , ce qu'on peut toujours obtenir en changeant l'origine de la variable, et reprenons la formule (jn) du n** 433
qui subsiste pour toutes les valeurs de x comprises entre les limites des intégrales. Aux limites mêmes on a
it/.+x-")i4/:>+^/'j2>^']»(8)
Posons a=ntkx^ et donnons successivement à ^ les
FORMULE d'eULER. 465
in — I valeurs équidifférentes
— (« — i)tix , — (/i — 2)Aar, .... — Ax, o, Aj7,2A^, ....(n — i)Aar, pour lesquelles l'équation (7) subsiste : en prenant la somme des valeurs correspondantes Aefxj et ajoutant la demi-somme des valeurs de/r, relatives à a:==dtâ5, on a
Nous avons remplacé Ç par x sous les signes d'intégration , ce qui peut se faire mairltenant sans équivoque, et nous avons posé, pour abréger,
m 'AÎTç Zit: (n — 1)11:
i7=i-|-2COS — hacos h^cos h-. . . .-f-acos^ <— •
La quantité p se réduit h. in — i toutes les fois que / est un multiple de m. On a d'ailleurs
p cos — = 0 + cos n: — cos -^ — >
d'oîi l'on tire /;=-— cos /tc, pour toutes les autres valeurs de L Cela posé, on prendra la somme 2" en admettant d'abord que cette valeur Aep ait lieu sans exception : on fera ensuite i=.iin , et l'on prendra une seconde somme 2* , relative à i ^ en faisant dans le cours de cette autre sommation
p:=nn — I + cos li'rvK = un .
La série périodique, contenue sous le signe /', sera la somme de ces deux séries partielles, et à cause de l'équation
cos nz cos — .— = cos — ^^ ,
on conclura de cette remarque
T. II. 3o
En conséquence, l'équation (9) donne
ou bien, en vertu de l'équation (8),
Rien ne s'oppose maintenant à ce qu'on remplace i' par/, et à ce qu'on change l'origine de la variable .r ou la forme de la fonction Jl de manière que les limites des intégrales soient quelconques. Ainsi y nous écrirons
j/^'^^^^lLi^'^^^^^] /j«&. (lo)
Posons
ï+^+^+^+<^«<^- =;(2^r A,„,. ,(ii)
et prenons garde qu'aux limites de l'intégrale, pour lesquelles la valeur de la variable x est supposée un multiple exact de A^, on a
cos-^ — == I , sm -T — = o :
ax ax
le procédé de l'intégration par parties donnera
FORMULE DEULER. 467
596. En rapprochant tes équations (lo) et (la), nous retrouvons la formule d'Euler telle que la donne l'équation (3); et de plus nous obtenons en intégrale définie la valeur du reste négligé quand on arrête I9 série à un terme de rang quelconque. Les coefficients A,, A3, etc., définis par l'équation (11), ^^ peuvent être autres que les coefficients donnés par les équations (A), ou par le développement de la fonction (a), suivant les puissances de a. Ainsi , l'équation (11) exprime une propriété trèsremarquable des coefficients A, ou des nombres de BernouUi qui s'en déduisent.
A cause de l'équation (11) on a évidemment
Désignons de plus par \ la plus haute valeur numérique que puisse acquérir la fonction f^^^x entre les limites de l'intégrale : on aura^ abstraction faite des signes.
S'il s'agit d'appliquer la formule d'Euler à une quadrature, on pourra toujours prendre dx assez petit pour que la limite supérieure du reste R„ tombe au-dessous de toute grandeur donaëe. Si la même formule est appliquée à l'évaluation d une somme ou d'une intégrale aux différences finies, la différence A.r étant don-
née, il pourra se faire que la valeur de R. n'aille pas en décroissant indéfiniment pour des valeurs indéfînimeut croissantes de Findice n : ce qui n'empêchera pas de fîàre usage de la formule, quand la limite supérieure de R„, pour une valeur convenable de l'indice n^ sera de l'ordre des quantités négligeables.
Lorsque la fonction f^^^x conserve le même signe dans toute l'étendue de l'intégration, on a aussi, abstraction faite du signe ,
ou
c'est-à-dire, que le reste négligé est numériquement plus petit que le dernier terme conservé.
La formule d'ËuIer se trouve en défaut quand les différentielles impaires de /r s'évanouissent, ou, plus généralement, sont égales aux deux limites de l'intégrale : le second membre de l'équation (lo) cesse alors de pouvoir se développer en série procédant suivant les puissances ascendantes de Ax.
597. En général, lorsque la fonction^ conserve le même signe dans toute l'étendue de l'intégration, on peut prendre Ao: assez petit pour que la valeur numérique du rapport
tombe au-dessous de toute grandeur assignée, à cause des changements de signe qu'éprouve le facteur àefxdx dans la première intégrale. Si, en outre, tix est une quantité négligeable comparativement à la distance X — Xq des limites des intégrales, il est permis de né-
FORMULE d'eULER. 469
gligêr, non-seulement la première intégrale (i3) vis-àvis de la seconde, mais encore les termes ^Jo(jfx — \fa^ vis-à-Vis de Hx^^fx, et Ton a
de sorte que , relativement à nos moyens d'expérimentation et de mesure^ les choses se passent comme si un système de parties discontinues se transformait en un tout continu. C'est en vertu de ce principe que, s'il s'agit, par exemple, d'évaluer l'attraction d'un corps sur un autre ) on considère les deux corps comme des masses continues, en faisant abstraction des pores ou interstices dont l'existence est mise hors de doute par une foule de phénomènes, mais dont les dimensions sont inappréciables pour nous. On admet que la masse des particules groupées dans un espace de dimensions inappréciables, et qui pourtant peut contenir un grand nombre de particules , se trouve uniformément répartie dans tout cet espace; et l'erreur commise doit être, par rapport à la grandeur mesurée, du même ordre que les dimensions du volume élémentaire par rapport aux dimensions des corps observés ; c'est-à-dire , que l'erreur est inappréciable par nos moyens de mesure.
Au contraire, lorsque la fonction /^ change de signe dans l'étendue de l'intégration, les deux termes du rapport (i3j peuvent avoir des grandeurs comparables, malgré la petitesse de A^. M. Poisson a tiré de cette remarque une explication ingénieuse de quelques-unesdes lois auxquelles paraît soumise la constitution moléculaire des corps.
En exposant, au commencement de ce Traité, les principes du calcul infinitésimal, nous avions pour
470 LIVRE Vni. CHAPITRE M.
tâche de faire bien comprendre comment l'on est parti de )a notion des variations discontinues pour adapter le calcul auK variations continues qui se manifestent ou semblent se manifester dans la plupart des phénomènes naturels. Ce qui précède contieut l'indication d'un procédé inverse, par lequel on introduit, pour la commodité du calcul, une continuité fictive dans des variations effectivement discontinues. Ce pr<^cédé trouve surtout son application à propos de l'évaluation des rapports de grands nombres , évaluation qui revient sans cesse dans la théorie des combinaisons et des chances , et pour laquelle on fait un usage continuel d'une formule due à Stirling, qui se déduit de celle d'Euler établie cidessus, comme nous allons le montrer dans le paragraphe suivant.
S a. Application à la formule de Stirling.
598. Proposons-nous d'appliquer la formule d'Euler à l'évaluation de la somme des logarithmes des nombres entiers , depuis i jusqu'à a: inclusivement : nous aurons Ar = I , y logxdx = x log X — X + const. ,
En conséquence , ht formule (4) donnera log[ i.a.3. . . .or) =C-|-^log^ — j: + -loga7-f — \
"' f-^-IS-r^^ + etc. (.4)
i.i.x^ JTôTj? 7.8.0:7 Nous en déduirons, en remplaçant x par ax,
log[i.2.3...(2j: — i)2j:]=C4-ajrlog2j:— aorH — logaa>+--p — etc.
Mais on a identiquement
APPLICATION A LA FORMULE DE STlRLING. 471
et par conséquent ,
log ( i.a.3,..../r) -h log [i.3.5 (a^— * )]
= C-+-xlog2 -f-aarlogo: — aa?-f-- loga^-4- j^: — etc.
En combinant, par voie de soustraction, Téquation (j4) avec celie-ci, nous obtiendrons cette formule où n'entre plus la constante C,
log[i .3.5...(aar— I )] =:f :i:4— jloga-l-J?loga:-^- j-' 4- etc. ( 1 5)
On a, d'autre part,
[t .3.5....(2a? — i)]»=:i.3.3.5.5.7 . ..;.(aar — 3)(ajr — i)(aa:? — i); et en combinant ces équations avec les formules (i4) et (i5), d'après les règles dû calcul logarithmique, on trouvera sans difficulté , ra.a.4.4«6-6-— (^«^ — a)(aar — a)aa: 1 ^ , '^g Li.3.3.5.à.7..,>U--3(a^iX2^- x)J=^^- ^ '^^ ^
H h etc.
Maintenant, quand on fait converger x vers l'infini,
le premier membre de l'équation , d'après le théorème
de Wallis [4o4], converge vers la limite log -, tandis
que le second membre se réduit , pour x= 00 , à a C —
a log a, d'où l'on conclut C=:log. l/aîi, et par suite
log(i.a.3..,..a;) = log\/'^-f-a:log j: — a: + ^logx
Faisons dans cette équation j:=z= looo, multiplions par le module des tables [64] les termes non affectés du signe log,^ afin que la somme se rapporte à des logarithmes tabulaires, et arrêtons la série au terme
qui a pour coefficient B3 : nous trouverons
log.vulg.(i. 2.3.. ..1000)= 2567,6046442221328 ,
valeur exacte jusqu'à la treizième décimale. Si l'on prenait j:r=:io, et qu'on poussât jusqu'au terme affecté du coefficient B^s, on trouverait, une valeur exacte jusqu'à la vingtième décimale (').
Ce calcul nous apprend que le nomfal*e i .2.3 . . . 1000, exprimé dans notre système de numération , a 2568 chiffi*es y dont les quatre premiers sur la gauche sont 4o23 ; de sorte qu'il se trouve compris entre . 4024. lo**^ et 4023. lo»*^*.
Dans la théorie des chances, on a précisément à assigner les rapports de très-grands nombres que les règles de l'analyse combinatoire donnent sous forme de factorielles, et dont le calcul arithmétique serait tout à fait impraticable. Or, pour assigner ces rapports avec une approximation suffisante, comparable à celle que comporte la détermination des constantes empiriques, il suffit évidemment de déterminer pour chaque terme du rapport, comme on vient de le faire pour la factorielle 1.2.3. r.iooo, la caractéristique de son logarithme et les premiers chiffres de la partie décimale.
599. Si l'on faisait dans l'équation (i 4)^= i, on en tirerait
fi, 1 83 85 4 ^ B9 . __fi"
OU bien, par la substitution des valeurs trouvées [SgS] pour les nombres de Bernoulli ,
(') Voj'ez riotroduction placée en tête de l'opuscule intitulé : Taùularum ad faciliorem et hreviorem probabHitatis compuiatronem utilium enneas y psir Degen. Copenhague , 1824.
