La formule de Taylor donne

d'où

fo:=:^.2f'x+^.2f"x+-^.2f'":r + etc. ,

et, en posant {'xz=fx, ou bien

Mais , par la même raison ,

2/'.=^./.--. 2/"—^. V'"— etc., W

^f^=£f'^~- V'"— r^- :S/".r-etc. (a") etc. ;

ce qui permet d'éliminer de la série (a) les intégrales sy'a:, 2/^'^;, etc. On fera l'élimination à la manière ordinaire^ en combinant par voie d'addition les équations

(«), {a)y (a"), etc., après ayoir multiplié tous les termes de {a) par le facteur A^Aj?, tous les termes de {a") par le facteur A.Aj;*, et ainsi de suite ; puis en égalant à zéro les multiplicateurs des intégrales qu'il s'agit d'éliminer. Ce calcul donne

2/^= ^ ffxdx -h k^fx + kMfx+ k^l^f'x

+ A3Axy"a:+etc. : (i)

les coefficients numériques A. étant déterminés de proche en proche , indépendamment de la forme de la fonction/*, par le système des équations suivantes

I * Ao I

Ao+ = Q, A.-|--^ +

. . A, Ai Ao I

A3 H 1 sr-f 5— tH Q / g-=o,etc. ,

Prenons yinzre* : il viendra

et l'équation (1) nous donnera, après la suppression du facteur commun ^,

— = -r- + Ao H- èlJ^ + A,Ar' + A3 Ar' + etc. ;

c"*^ • I CkX

d'où il suit que le coefficient A^ est celui qui multiplie a' dans le développement de la fonction

suivant les puissances entières et positives de a. En remettant pour Ao sa valeur — 79 on a