Quand on applique la formule (3) au calcul

numérique de l'intégrale définie / fxdx^ il peut'arri-

ver que ta fonction^ ne soit donnée que par une taUe qui fournit seulement les moyens de calculer d'une manière approchée [44] l^s valeurs des àévviée»fxyfxy f'xy etc. Admettons que cette table donne lea valeurs de^ pour des valeurs équidiflerentes de Xy l'intervalle des limites x — x^ étant toujours un multiple de ^x. Employons comme quantités auxiliaires une variable z et une fonction

de sorte qu'on ait

fï»)(o)=/(")j:— /(->a:o, A«f(o) = A''/^— A«/ar. ; (ip) et supposons que la variable z prenne successivement les valeurs o^Ao;, sAj;, 3Aj:, etc. : la formule (17) donnera, par le simple changement de y* en f et de x en z,

fe = f (o) +-4- Af (o) + ^""".^^ A'f (o) + etc. .

Si maintenant, conformément au principe de l'interpolation, on regarde cette formule comme subsistant pour des valeurs quelconques de z, on pourra différentier les deux membres comme des fonctions continues de ^; et en faisant ensuite z==o, on obtiendra

Axf(o) = Af(o)— iA*f(o) + iA'f(o) — iA^(o)+etc., Ar'r'(o) = A^f (o) — |A*f (o) + etc., etc.

Remettons pour i'{p\ f"'(p)^ . . . ,Af(o), A*f(o), . . . leurs valeurs données par les équations (19)9 et substituons dans la formule (3) : il viendra

/ fa:dx==^x^^lfx+^fx-^fx,^^^

+ J^(Ayi-Ayi.)-i|(AV^-Ay:r,)

DE L'irfTERPOLATlOW, 479

formule donnée par Laplace dans la Mécanique céleste^ Il faut supposer que la table des valeurs de fx s'étend au delà de la limite supérieure de l'intégrale, pour qu'elle détermine implicitement les différences ^fxy ^fxj t^fx^ etc*, relatives à cette limite supérieure.

603* Le problème inverse de l'interpolation consiste à déterminer la valeur de ^ qui répond à une. yaleur donnée fx de la fonction f. Quand on emploie, comme formule d'interpolation, l'équation (17), la solution de ce problème revient à la résolution d'une équation algébrique de degré n^ A*/(o) étant la plus haute différence conservée dans la formule. Mais, au lieu de faire usage pour cette résolution des méthodes générales dont l'application est si pénible^ on a recours à des approximations successives. Ainsi l'on posera

b.x fjc — f{^

Yx ts.f{p) ' Fx étant une fonction de x qui a pour valeur

te Vi.a.A/(o)+W Aax Vi.a.S.A/oV On prendra, pour une première valeur approchée de X,

pour seconde approximation

,l^Jx-f{p) Ax . A-/(o)

*'- FÎ: A/(o) ' P"'' **- n, A/(o) ' et ainsi de suite.

Le problème de l'interpolation comprend, comme cas particulier, celui de Vintercalationy qui consiste à insérer, entre les valeurs données par une table , un nombre déterminé de valeurs intermédiaires. On sup-

480 LIVRE Vllf. CHAPITRE II.

pose ordinairement que les termes intercalés doivent être équidistants, commç les termes de la table primitive.

604. Si la table ne donnait pas les valeurs de la fonction pour des valeurs équidifTérentes de la variable indépendante, ainsi qu'on Ta supposé dans ce qui précède, il faudrait recourir à d'autres formules d'interpolation. On pourrait en donner dont la construction se rapporte au calcul des différences finies; mais il est plus simple, et il suffit pour notre but, de poser directement avec Lagrange

fo^yxiTr^' . ./„ désignant toujours les valeurs données de la fonction y y qui correspondent aux valeurs .ro, x^y x^j. . .^„ de la variable .r; et X, étant une fonction de X, qui se réduit à l'unité pour x=Xi et à zéro pour x=Xi'y quand l'indice i' a toute autre valeur que i. Il est clair qu'on satisfait à cette double condition, en prenant

~ {xt—x.Xxi—x^) (oTi— a;„) '

on pourrait d'ailleurs y satisfaire d'une infinité d'autres manières, parce que le problème de l'interpolation est essentiellement^ indéterminé.