CHAPITRE in
TUIÉORIE DES ÉQUATIONS A.UX DIFFÉRENCES FINIES , F.NTRE DEUX VARIABLES DISCONTINUES.
§ I*'. lotëgration, en termes finis, des équations aux différences finies, à deux variables.
605. La théorie des équations aux différences finies^ sans être, à beaucoup près, aussi féconde que celle des équations différentielles en applications importantes, mérite pourtant d'être exposée avec quelque détail , même dans un traité élémentaire. La comparaison des deux théories manifeste des analogies et des contrastes qui jettent de la lumière sur Tune et sur l'autre, et qui font mieux ressortir les lois générales de l'analyse.
Nous ne traiterons avec. quelque développement que des équations aux difTérences entre deux variables x et y^ et nous les envisagerons successivement sous deux points de vue : d'abord comme exprimant la loi de la série des valeurs de^, qui correspondent à une série de valeurs déterminées de x\ ensuite comme exprimant une propriété de la fonction y qui croît, ainsi que la variable indépendante .r, sans discontinuité.
On peut toujours supposer que l'intervalle A^r des valeurs de la variable indépendante est.consts^nt, et prendre cet intervalle pour unité [583]. Si â^r n'était pas un nombre constant,' mais une fonction de x seul, ou de X et de jr, on pourrait regarder x et^ comme des T. II. 3i
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fonctions du nombre entier /, positif ou négatif, qui fixe le rang du terme Xf dans la série des valeurs àex, et celui du terme correspondant^, dans la série des valeurs de^. Les variables ^ et^ seraient alors définies en fonction de l'indice i par deux équations aux différences, auxquelles on pourrait appliquer le procédé d'élimination indiqué au sujet des équations différentielles [165], de manière à arrivera une équation Eoale d'où Tune des variables Xyj', et ses différences se trouveraient chassées. Dans cette équation finale , qui serait en- général d'un ordre supérieur à celui de l'une ou de l'autre des équations proposées, la variable indépendante I varierait par intervalles constants, égaux à l'unité.
Au reste, dans la plupart des problèmes auxquels s'applique l'intégration des^ équations aux différences, en tant qu'elle a pour but d'exprimer le terme général d une série, la loi de génération de la série, dont l'éqùatiou aux différences est la traduction, se trouve immédiatement exprimée au moyen de l'indice qui remplit ainsi, sans qu'il soit besoin de transformation préalable, Tof- £ice de variable indépendante.
606. Une équation aux différences de l'ordre n, dans laquelle la variable indépendante x a des incréments constants, égaux à l'unité, peut être représentée ^énénr lement par
F{x^y^Xy^yJ a«/)=o 5 ou par fix^yTtir^ .r«)=o j
si l'on exprime les différences successives en fonction des valeurs consécutives de jr [58a]. En conséquence on tire d'une équation du premier ordre^^, exprimé par le moyen dé ^; d'une équation du second ordre, ^, exprimé au moyen de j^, et de^;et généralement une
ÉQUATIONS AtrX DIFFÉUEKOKS FINIES. 483
équation du rf ordre fait connaître la valeur numérique d'un terme de la série, au moyen des valeurs des n termes précédents. Réciproquement^ l'intégrale de l'équation aux différences, ou l'expression analytique du terme général de la série engendrée , doit contenir autant de constantes arbitraires qu'il y a d'unités dans lexposant n de Tordre de l'équation : la détermination de ces n constantes devant équivaloir ci la détermination des n termes qu'il faut se donner arbitrairement , pour pouvoir construire numériquement la série au moyen de l'équation proposée. C^s remarques sont tellement analogues à celles qui se présentent dans la théorie des équations différentielles, qu'il suffit de les indiquer ici , sauf à en développer bientôt certaines conséquences, après que nous aurons examiné quelques cas où l0s éqM^ltions aux différences comportent une intégration proprement dite : en ce sens qu'on peut exprimer analytiquement'le terme général de la série correspondante, avec des constantes arbitraires en nombre égal à celui qui marque l'ordre de réquatiou.
607. Considérons d'abord l'équation générale du premier degré et du premier ordre
on poserai comme au a"* (\k^% y"=^^^^ ^ S^i donnera
En raison de l'indétermiination desi fonctions 0 , ^^ cette équation est susceptible de se déc&mposer dans les d/eux suivantes
m + A0, Af =;= fo , AO -f. ôy> =;= o . Pour faciliter l'intégration de la seconde, Élisons ^z^zui'' :
i| viendra [§89]
Aô =e* («Az — I )z:=; 0 ( càz — , ) ^
484 LIVRE VIIÏ. CHAPITRE lit.
d'oîi
et enfin
en désignant par Fx le produit dç toutes les valeurs que prend la fonction i — -Jx entre les limites de Pihtégrale 2. Cette fonction F ainsi déterminée, on aura
fr
7 = Fx.2-
Dans le cas oîi la fonction ^r se réduit à une constante I — a, cette formule donne
fsc
4 ^ -^ ax+i
et si la fonction fx se réduit aussi à une constante by il
vient
En général, quand la fonction /devient constante, l'intégration s'effectue toutes les fois que if désigne une fonction rationnelle et entière.
On peut déjà remarquer que, si la constante a se trouvait négative, il serait impossible de considérer^ comme une fonction continue de^ [i^], à moins que la constante arbitraire ne vînt à s'évanouir, ce qui ferait disparaître a* de l'équation précédente. Mais dans l'hypothèse oîi^ désigne le terme général d'une série, et a: un indice qui ne comporte que des valeurs entières, rien ne s'oppose à ce que la constante a soit négative : il en résulte seulement que les valeurs consécutives de a' sont alternativement positives et négatives.
