Considérons encore l'ëquation

à laquelle on peut donner la forme

et qui est analogue à Téquation des cordes vibrantes

Il y a ceci de remarquable que l'intégrale générale de réquation(&) aux différences partielles, savoir

f ,v|; désignant des fonctions arbitraires, satisfait aussi aux équations (p) et (B) aux différences finies, comme on le vérifie sans difficulté.

La table des valeurs de la fonction z,,^ se construit, en vertu de l'équation (p), pour toutes les valeurs des variables x^y^ si Ton donne arbitrairement, pour toutes les valeurs de x, les deux fonctions z,,o?=f^,^,^,=fia:; car il vient :

j8,,,=f,(^-M)+f.(jr— i)— fo^,

;ï,,3=f.(^+a)+f,ir+f,(ar-2)-f,(a:+i)-f.(^-0» «««• ^*.-«=fo(^+i)+fo(^— i) — ft^i 5f,.-,=fo(^+a)-hfoa:+fo(^-a)-f,(aî+i)-f,(a:-i),etc.

Avec les mêmes données on déterminerait dans l'intégrale {£) les fonctions f et ^ ; car on aurait

(po: + ^«F = f,^, <P^ + ^^ — a) == f , (^ — i), d'où

<ju: — i^x — a) = foa; — i^{x — i),

équation aux diffiérenees finies enlre deux variables, qui fait connaître la fonction ^ et par suite la fonction <p.

Il vient <p=^9 si Ton a entre les fonctions Cf. la relation

f.^=Tfo(^+i) + Tfo(^-i);

et alors l'intégrale prend la forme

Admettons que la fonction ^«^ ne soit donnée qu'astre le& limites ^c=o, a:=lj mais que les fonctions z^^^ Zi^ soient assujetties à rester nulles pour toutes les valeurs de ^ : on aura, en vertu de ces conditions,

f.7=-f.(-r), \ on \ f.^ = -f.(-^). f.(/ + j)=:f.(/j),j °" (f.(J + x)=f.(:r-/).

La première de ces équations nou^ montre que la fonc* tion fo, prise dans toute son étendue, est impaire; la seconde, que cette fonction est périodique ; en sorte qu'il suffit qu elle soit donnée entre les limites o,/ d'une période, pour qu'elle doive être réputée donnée dans toute rétendue de son cours.

Quand x^j" désignent des variables continues, Téqua-, tion (z) n'est plus qu'une intégrale particulière de l'équation (P) à laquelle on satisfait plus généralement. par la formule

^'.x = ?[^ + rM^»7)l + ^[^ — r,trf,(a:,7)] , (Z) vijVij étant des fonctions arbitraires de x,^, assujetties seulement à ne pas changer de valeur quand ces variables augmentent de Tunité.

Au lieu de preadi*e Ars=i, J^^cr^i , on peut supposer Ax=Ajàif=::/iy h désignant une constante quelconque; et suivant qu'on regardera les variables x , ^ comme discontinues ou comme continues, on exprimera encore par {z) ou par (Z) l'intégrale générale de l'équation

ÉQUATIONS A TROIS VARUITLES. 527

qui peut, à cause de Ax=A/=A, se mettre sous la forme

A^^x-Aj^ A>x,7-A , j. .

Ao:* Aj» ' ^ '^

Dans ce cas les fonctions -d, vii se trouvent assujetties à ne pas changer de valeur quand ^ ou jr augmentent de /i; ou, si l'on veut, x;i etx^^ sont fonctions des quantités

sin-j-> cos— 7-, sm— ~, cos-^* (H)

Faisons converger la constante h vers zéro : à la limite l'équation (B,) se changera dans l'équation (b) ; et comme les fonctions (H) éprouvent une solution de continuité pour A=o, l'équation (z), délivrée de ces fonctions discontinues^ et qui est d'ailleurs indépendante de k^ donnera l'intégrale la plus générale de l'équation (B,), dans l'hypothèse de la continuité des variables et pour h=o; c'est-à-dire qu'elle donnera l'intégrale la plus générale de l'équation (&), coinme cela résulte directement de la théorie des équations aux différences partielles in- Bniment petites.