ÉQUATIONS A TROIS VARIABLES
àj,z^\^z les différences partielles de la fonction z, prises en: faisant varier séparément x et /, et par àz la différence totale : on aura
A,A^js = A^A,z, z + iiz rsssz-hàsZ -f- âkj(z + A,z), d'où A2=A,2-|-A^z-j-Aj^^z^ résultat qu'on peut exprimer par l'équation symbolique
Az = [(i + A,) (H- A^)— i>.
On trouverait de même
A-^=[(i-hA,)(i + A^)— i]'^,
A»^=[(i + A,)(i + A^) — i]"^; et, si u désignait une fonction d'un nombre quelconque de variables x^j-^ 2,,.., on aurait encore -■ - ' '
A««=[(i-hA,)(i4-A^)(i + A,)... — i]-a.
Les différences Ar, A;^ étant supposées constantes, on peut les prendre égales à l'unité [583] et admettre que les variables x^j^ passent par la série des nombres naturels : dans ce cas la fonction ^^,^ désigne le terme général d'une table à double entrée [116]; x et y sont les indices ou les numéros d'ordre des deux entrées' de la table, ou des deux bandes horizontale et verticale auxquelles appartient la case dans laquelle est inscrite la valeur z,^.
Quelles que soient les valeurs constantes ou variables des différences Ar,A;^, les différentes valeurs dont la fonction z est susceptible ne peuvent être déterminées et coordonnées en table, que si l'on détermine la série des valeurs par lesquelles passe k variable ^et celle des valeurs par lesquelles passe la variable^. Appelons 1, i^ les indices de ces deux séries : x sera une fonction déterminée de l'indice /, et^ une fonction déterminée de l'indice /'; donc on pourra regarder z comme une fonc-
522 LIVRE Vill* CHAPITHE IV.
lion des iadices i, /, qui sont des variables discontinues}, joiii^tit esseutielleroent dd la propriété de crmtré par différences constantes, égales à l'unité. Donc réciproquement, dans tous les raisonnements indépendants de la forme de la fonction z,^j ou peut, sans ^n restreindre la généralité, supposer Aj;=i, A/=;i .
627. Pour indiquer seulement la nature des relations exprimées par les équations aux. différences, dans lesquelles figurent plusieurs variables indépendantes, prenons réquation très-simple
et admettons que Ton donne la fonction Z;r,o==fo^ - on tirera de l'équation proposée
^*+i.i == ^,f + ^*.o» ou A^,,, =ftfar,
et par conséquent .
On déterminerait dé même z«^,, z^s, et enfin z«.^,
jr ayant une valeur positive quelconque, et x une valeur positive ou négative; '
lA Coiictipn initiale (^ reste arbitraire, et en outre les intégrations successives introduisîent dans les fonctions fior^f,^, etc., des constantes arbitraires, dont la série prolongée jusqu'à l'infini, sera implicitement déterminée si Ton assigne la fonction Zo^ pour toutes les vale.urs positives de j-.
Mais si Ton doniie la fonction Zo^y=Foy pour toutes les yaléurs de^,' tant négatives que positives, la fonction z<,o=C^ ne reste arbitraire que pour les valeui-s négatives de or, et elle est au contraii*e implicitement déterminée pour toutes les valeurs positives de la même variable. Ëneftet, l'on tire de l'équation (a)
liQUATlONS A TROIS VARIABLES. &23
on détqnumerait de même ^s^, z^^^. . .^s^^^a:. aya^l une valeur positive quelconque, et^ une valeur positive ou négative. , .
On peut considérer l'expression de z^^ qui s'étend à toutes les valeurs de / et aux valeurs positives de x^ comme ayant une étendue coniparable à celle de Tex^ pression de la même fonction qui s'étend à toutes les valeurs de x et aux valeurs positives do / : cependant la première ne comprend essentiellement qu'une fonction arbitraire Fp^ qui doit être donnée entre les limites — 00 ,-|-oo ; tandis que la seconde comprend deux fonctions arbitraires , savoir f^ qui doit être donniée entre les limites — ao ,-|"^ ^^!^ ^oj qwi doit être donnée seulement entre les limites o^-l^oo. Ce fait d'analyse tient à ce que les variables x^j n'entrent pas symétriquement dans l'équation (a), et il a de l'analogie avec le cas de réduction des fonctions arbitraires, dans les intégrales des équations ordinaires, aux différences partielles, où les plus hautes dérivées de la fonction ne sont pas de même ordre par rapport à chaque variable indépendante; mais il offre de plus cette circonstance singulière (qui ne nous paraît pas avoir été remarquée) que le nombre des fonctions arbitraires indépendantes varie selon le signe dont les valeurs numériques des variables indépendantes se trouvent affectées.
Pour les valeurs négatives de /, la table des quantités Zg^ se construirait sans qu'on eût besoin de connaître autre chose que la fonction i^pt^ -entrie; les limites ±00 : en effet l'équation (a) donne «*,-.==fo(^-l-i)— f«^, 2,,-.»=to(^+a)— -aC(ar+i)+f^, etc;
Au contraire, la construction de la table, pour les va-^ leurs négatives de .r, exige qu'on assigne la fonction Fojr
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entre les limites ± oo , et en outre la fonction f^z entre les limites o, — oo ; car on tire de Téquation proposée
équation aux différences, d'où Ton ne peut tirer 2,^ que par une intégration relative à /, qui amène iine constante arbitraire. Le passage de z,,^ à z,,^ en amènerait une autre, et ainsi de suite.
Supposons que nous voulions construire la table des valeurs de la fonction z,^^ seulement pour les valeurs positives de jr,^, et qu'on ait 2,„=fo-^^^=ii pour toutes les valeurs positives de x. Admettons de plus qu'on ait 2„,o=ii et z^^y:=F^j^'=o pour toutes les valeurs positives de l'indice^: il vient, par suite de ces hypothèses,
3<ar — i)(x — a). . . (jT — r +.i) .
c'est-à-dire que la fonction z«^, définie par l'équation (a), est, en vertu des hypothèses sur les fonctions initiales, le coefficient de a*'^ b^ dans le développement de la puissauce (a-^by.
Si x^j^ désign«aient des variables continues, la sur&ce dont l'ordonnée verticale est 2,,^ pourrait être construite pour toutes les valeurs positives de x^ moyennant qu'on donnerait la valeur de la fonction pour toutes les valeurs de j- et pour les valeurs de x comprises enti'e o et -j-i, ou la bande de la surface comprise entre le plan des^z et un plan parallèle mené h la distance .x;=ï. En
ÉQUATIOIVS A TROIS VARlÀBI«ES. 525
effet, soit F(.r,^) la fonction donnée entre ces limites, on aura
2,+.,,= F(x,jr)-f- aF(j:^— i) -hF(j;,7— a),
et ainsi de suite.
