CHAPITRE PREMIER
294. Nous avons indiqué dans le premier livre [chap. III et IV] les principes de la théorie des quadratures et de Tintégration des fonctions d'une seule variable : principes dont la connaissance nous «tait dès lors utile ^ tant pour nous former une idée générale de la nature et des application^ de l'analyse infinitésimale, que pour l'éclaircissement de certains points de doctrine que l'on a coutume de rattacher au calcul difTérentiel. Maintenant nous entrons dans le calcul intégral proprement dit; et il s'agit d'abord d'étudier les procédés d'après lesquels, étant donnée une fonction différentielle d'une seule variable, on trouve son intégrale, quand on peut exprimer
2 LIVRE V. CHAPITRE ï.
analytiquement cette intégrale sous forme finie, en n'employant que les fonctions al géb riquesou les fonctions transcendantes déjà connues.
Lorsque^ pour intégrer une foiAcûùn Jxdxi^ on la décompose en plusieurs autres dont on connaît les intégrales, ce procédé s'appelle intégration par décomposition. Exemple :
y" ilx /"(sin^jc+ cos*j?)<fe rdx rdx
sin*arcos*J? J sin^xco^x Jcos^x Js\v?x
= tang X — cot X 4- consU Si Ton pose
. or =9^, dX:=z(f*tdtj
la fonction /^é^ir deviendra une fonction différentielle de /, de la forme
f{fft).(f'tdt. En admettant que l'on sache intégrer cette dernière fonction, il suffira de substituer pour t^ après l'intégration , sa valeur en j; ^ et Ton aura l'intégrale de la proposée* Ce procédé s'appelle intégration par substitution.
Ainsi , pour avoir l'intégrale f xdx
on posera
x* = ty d'où xdx = - cfc;
l'intégrale proposée deviendra
- / ^ =n-log {t+à') H- const. :=:-log{û^ -hà^y^ôonst.
Ces deux artifices de calcul, joints à celui de Yinté-^ gration par parties [55], sont d'un usage continuel, et la pratique apprend à les combiner de manière à arriver par la voie la plus courte au résukat cherché : on en
INTSGRATJOir DES FONCTIONS ALGEBRIQUES. 3
verra de nombren exemples dans ce qui doit suivre.
$ i®^ Fonctions rationnelles.
295. Une fouctiou différentielle de x, algébrique, rationnelle et entière, peut toujours se décomposer en monômes de la forme ax^dx, et par conséquent peut toujours s'intégrer algébriquement, puisqu'on a, par le renversement des r^les de la di(fik*entiation ,
xf^da:=: V-consL {a)
wt-f- 1 •
Quelquefois cette opération s'abrège par des substitutions. Soit, par exemple,
on posera ax-[-é=r, et il viendra
f^dt= -7 ^-« + eonstj=^—, ^ + comt. (i )
Les formules {à) et (i) subsistent pour des valeurs de m positives ou négatives , entières oi| fractionnaineSt ou même irrationnelles. Elles ne tombent en défaut que pour la valeur mr= — r , qui i^end infini le terme
et en effet l'on sait que dans ce ca^
rdx ' I — = log X 4- const. (b)
£n passant aux intégrales définies, on a
et quand on fait dans le second iiiem)>re de l'équation précédente m= — i , il se prési^te sons la fonne^, ce qui nous montre que le second niembre de l'équation (a) , dans la même hypothèse, n'est pas infini, mais indé-
terminé^ à cause de la constante arbitraire qu'il renferme et qui doit être supposée infinie, en mêine temps que le terme variable.
On a
-i^=^-^Mog^;
donc, si l'on applique au second membre dé l'équation (c) la règle ordinaire pour là déterminacion des valeurs qui se présentent sous la forme indéterminée^, on trouvera
— = logàr — logOTo,
ainsi qu'on le conclurait directement de la formule {V), Soit
dr'=z--^ — rri^.dxj
-^ {ax+by
fx désignant une fonction algébrique entière , et m un nombre entier positif : on posera , comme ci-dessus , â«r-|-é=:^; et après qu'on aura substitué pour sr, dans fxj sa valeur en t; et eJBTectué les développements des puissances , la différentielle d)r sera la somme de termes de la forme
^ dt=zm--^dt, t
N désignant un coefficient constant; au moyen de quoi la détermiûation de l'intégrale ^ ^eva, ramenée à l'intégration d'une suite de différentielles monômes.
296. £n général, une fonction différentielle algébrique, rationnelle et fractionnaire, est formée d'une suite de termes de la foi*me
fx^ Fa: désignant deux, polynômes entiers en x , et l'on
peut toujours admettre que le numérateur ^^ est d'un
degré inférieur à celui de Fx : autrement on effectuerait
la division algébrique, et l'on transformerait la fonction
proposée en
fx
(x désignant une fonction entière etf^x une fonctiou de degré inférieur à celui de fx; en sorte que l'intégration de k fonction {d) serait ramenée à celle de la fonction
•^ dx
Ceci admis, supposons que l'équation algébrique
Fa:=:o (F)
n'ait point de racines multiples, et soient
«, a,, a„...,adbPl/=:T, a,dfcp, V/~, etc., ses racines, réelles et imaginaires : on pourra poser A A A, Mx+7( M,x + N,
Or, on a (les coefficients A,, M,, Ni'désignant des constantes )
A.|fitr
' Aj log {x — atj+consty ,
X — ai
/^Midj+'Hi dx f{TAiX\'TS,)dx\rUi{x-oL;)dx i % ' %
=^log[(^-a,)«+.p,^H ^ — arctangf -r^ ]+c<7/w^;
en sorte que l'on obtient l'intégrale de tous les termes dans lesquels se trouve décomposée la fonction {d) , et par conséquent l'intégrale de cette fonction même. On déterminerait les coefficients A,, M,'J, N, par les
6 LIVRE y. — CHAPITRE I.
règles ordinaires de l'algèbre, en feisaût disparaître les dénominateurs dans Téquàtion (a) qui doit être identique j et en égalant séparément à zéro , après le dëve-* loppettient, les facteUrs qui multiplient chaque puissance de a^. On obtiendrait ainsi autant d'équations du premier degré entre les inconnues qu'il y a d'inconnues à déterminer : mais on peut aussi les calculer directement par le procédé suivant.
On a
/x A,- fe •(«:*—&,•)
Fx jc—ai "* F^^ '
£r désignant une fonction entière de x que l'on obtient
par la réduction ati même dénominateur de toutes les
fractions, autres que .*-^— ! — , qui entrent dans le second
membre de l'équation (a). De là on tire
/à:= Aj hf"2P.(^ — û|).
•^ à: — ai ^
Lorsqu'on fait dans celte dernière équation x:=aij le
terme £r. (x — U;) s'en va, la fraction se présente
sous la formel, et sa vraie valeur est F^, quantité
finie et différente de zéro, puisque, par hypothèse, Ui
est une racine simple de l'équatiou (F) : donc on a
Il viendrait de même
d'où
M,{a<±p,i/=ï)+N,.=±aP,V..^^^3^, (3) équation qui se décompojse en deux autres, à cause du
INTÉGRATiair DES FONGTlOIfS ALGiBAlQUES. 7
radical i^^, et qui suffit pour déleriuiner les coefficients M|, N|.
397. Si 1 équation (F) a r racines réelles égales à a , on ne peut plus poser
fx A' A" AW A,
%-: = 1 h ... H 1 î h etc.;
rar X — a x — a x — a x — a, '
car, à cause de Tindétermination des coefficients A', A" ^
etc. , cette équation ne différerait pas de
fx A A,
ïT- = — 1 ' h etc.,
Yx X — a a?— flj,
et Ton n'aurait plus le nombre de coefficients nécessaire
pour établir l'identité ; mais on fera
fx k' k^ A(^-0 AC") A.
d'où
/r=A(0F,x+A(''-O(j|.-..a)F,ar4-...+A"(^— ay-F.Jc
+ A'(a:— ay-'F,a:+ (x— a)^^?, (4)
en désignant y pour abréger, par Y^x le polynôme entier
Yx (x^ay^^ et par ix la fonction entière qui est le numérateur de la somme des fractions
+ etc., X — a, x—^a^
après qu'on les a réduites au même dénominateur.
On soumet l'équation (4} ^ f* — ^ différentiations
successives, et l'on fait ensuite x=-a^ tant dans cette
équation que dans ses différentielles , ce qui donne :
fa =A«F,a, )
/^=AWF\a+A(-OF.fl, ...
,/'û=A('-)F\rt + 2A(-0F'.a + 2A(-')F.£ï, ( ^ ^
et par le moyen de ces équations on détermine succes-
siveuient les coefficients A^'^^, A('^-'>, A^'^-'^. . .A'\ A'. II est visible d'ailleurs qu'après la décomposition de la fonction fractionnaire proposée, chaque terme de la
forme
ACO ^ : — i ^.dx
s'intègre algébriquement , à l'exception du terme
— : — dx^ x — a
qui s'intègre par logarithmes.
Lorsque la, racine a est incommensurable, le polynôme F,x a des coefficients incommensurables , même dans Iç cas où le polynôme Fj; n'aurait que des coefficients rationnels : il est donc utile de savoir calculer les quantités F,a , F\a, F^j'a, etc., qui entrent dans les équations (5), sans avoir besoin dç former le polynôme F,x. Or, puisque
par hypothèse
Fa: = (^ — aVFjX, on a
FWor = (a:— ayF,(0:r -f- - . r(ar-Ta)'- 'F.0-0^
^ ^(^~')^y.i) (^tfy-»F/'-»)a? + etc,,
la suite se prolongeant jusqu'au terme
r(r-. i) (r-a). . .{r—i-\- 1) {x — ay-'Y^x, pour les valçurs de e < r, et jusqu'au terme
'(' — i)(i — a)...(/ — r+i) f \ Q / Noir ri -r^
zz=/(i --i)(« — a)...(i:— . r4-i)F,C'-0j7, pour les valeurs de / > r. Ce dernier terme étant le seul qui ne s'évanouisse pas quand on fait xzzr-a^ il^ vient FCOa = r(r— i](r— 2)...3..2.i.F,a, F('+Oa=(rH-i)r(r-i)...4.3.a.F\a, F('+0a=(V4-2)(r-f. i)r, . .5.4.3.F%fl, etc.i
et par suite on pourra chasser F,a, F^a, F",a, etc., des équations (5).
298. Si l'équation (F) avait des racines imagins^ires multiples, Fx admettant pour facteur
on poserait
Fx^(^-«)»+ p« "^ [(x-ar + p']'"*" ' *
MWx+NM A,
et réquation (4) se trouverait remplacée par fa={M(^)x + m)) F^x + (M(-0) [(x— a)* + P*] F,a; +. . . + (M'^+ NO [(j: — af+ P^-' F^j: + [(^— a)^ + P? *^- On prendrait les dérivées successives de cette dernière équation ; on ferait ensuite j;=: a 4^ P|/di , et Ton aurait le nombre d'équations nécessaire pour déterminer tous les coefficients M^*^ N^'\
Admettons que ce calcul soit effectué : il s'agira d'intégrer une suite de termes de la foti;ne
çmx+m)d^
pour les valeurs de i plus grandes que l'unité. Or , on a J [(x-«)»+p»]'— 7 [(.r-«)»+P7
■MWa + NW dx
M(0 MWg-f-NW f dt
en posant, pour simplifier, X — «
Il vient ensuite
C dt f dt f edt .gv
D'ailleurs , le procédé de l'intégration par parties , appliqué à la fonction
i^dt t itdt
donne
r edt t i I r dt
Par la substitution de cette valeur dans l'équation (6), an obtient
y^ dt __ t af— 3 r dt
Mais en appliquant le même procédé, on ramène l'intégrale
^t finalement de l'intégrale
rdt
