I -^ = arc tang t + const
après quoi, il n'y a plus qu'à remettre pour t sa valeur en fonction de ^.
En résumé, cette analyse montre que l'on ramène à la résolution des équations algébriques l'intégration de toute fonction différentielle, rationnelle et fractionnaire; et que l'intégrale d'une fonction de cette espèce s'exprime toujours par des fonctions algébriques rationnelles, et par des fonctions logarithmiques et circulaires.
299. Quand la fonction différentielle, sans cesser d'être algébrique, devient irrationnelle, son intégrale, lorsqu'elle existe sous forme algébrique, doit renfer-
INTÉGRATlOir DES fOUGTlOWS ALGEBRIQUES. 11
mer tous les radicaux irréductibles qui entrent dans la fonction différentielle, et n'en peut pas renfermer d'autres : ce qui revient à dire que l'aire d'une courbe algébrique doit avoir, en fonction de l'abscisse, précisément autant de valeurs (réelles ou imaginaires) que l'ordonnée en comporte , ou autant que la courbe a de branches (réelles ou imaginaires).
Deux habiles géomètres de cette époque, Abel et M. Liouville, ont fait oonnaître des méthodes d'après lesquelles on peut reconnaître si une fonction irration-* nelle comporte uoe intégrale algébrique ou logarith-? mique, et trouver directement cette intégrale, quand elle est possible. Mais nous ne les suivrons pas dans ces généralités , plus intéressantes pour le perfectionnement de la théorie que pour l'utilité des applications.
Les fonctions dont l'irrationnalité tient à la présence d'un radical carré sont celles qui se présentent le plus souvent dans les questions de géométrie et de méca* nique , et il convient que nous nous occupions plus spécialement de l'intégration des fonctions de cette classe.
5 2. Fonctions à radical carre, recouvrant un polynôme du premier ou du second degré.
300. Si, dans la fonction à intégrer, entrent rationnellemeqt la variable x et le radical
en sorte que, cette fonction étant mise sous la forme
f{a:,W).dx, {e)
y soit une fonction algébrique rationnelle de x et de R , oq posera
\/^Hhïî = f, (7)
d'où
^ — a , ntdt /Qv
au moyen de quoi la fonction proposée deviendra de la forme ¥tdt^ ¥t désignant une fonction rationnelle de t. Admettons que le radical recouvre un polynôme du second degré, ou qu'on ait
R == y'a H- 3a: Hh car».
On pourra, sans restreindre la généralité, poser c= i ,
ce qui revient à changer x en — -^, en conservant d'ail-
leurs aux constantes a , b leur indétermination. Soit en premier lieu
R = W' a -f. 3ar 4- ar> :
on posera ce qui donne
a a + bt + e :L{a+bt + e),
et par la substitution de ces valeurs la fonction (e) sera, rendue rationnelle.
S'il s'agit de se débarrasser d'up radical de la forme
on représentera par a, ^ les racines de l'équation.
x' — bx — a=o, racines que nous supposerons réelles, sans quoi le radical , restant constamment imaginaire , rendrait imaginaires tous les éléments de l'intégrale , et par conséquent l'intégrale même.
On posera ensuite
Va + bx — x*=^ \/{x— a) (P— «) = (^ — «y,
d'où
et la substitution fera disparaître Tirrationnalité , comme dans le cas précédent.
INTEGRATIOir DES FOIiCTIONS ALGÉBRIQUES. 13
L'irrationnalité peut encore être levée, lorsqu'elle tient à la présence simultanée dans la fonctiôn^de deux radicaux
car, en vertu des équations (7) et (8), on aura
ce qui fait retomber sur le cas précédemment traité. Exemples :
1° dyz
V^a 4- ^« -H ex*
jr=:i~^ . log I -r= + XU^c + l^a-^bx-^cx^l-h COkst. (9)
dx
K a •{- ôx — ex* 2 . /— 2Ca:-|-A-hV/P"-4-4ac , .
r= —.arctanffv ; 7===.+ constA 10)
Pour
, dx
Kl -H ara
la formule (9) donne
y = log {x + |/k+«») + const^y ce qui s'accorde avec l'une des équations du vfi 68.
Pour
, dx
on tire de la formule (10)
/ I — — x y = —2 arc tang\/ f- const.
=: — arc tang h const, (i i)
Mais on sait d'ailleurs que la valeur de ^ est dans ce cas ^=:arcsinx + c<?/wf. (12)
14 LITRB V, CHAPITRE 1.
Il faut donc que les expressions (ii) et (la) rentrent Tune dsins l'antre; et en effet, si l'on pose
arcsinx = 99 ou :r = sinf/ les équations (ii) et (la) donneront
/±= H 9 + consUy jr=<f + const.y
expressions équivalantes , à cause de l'indétermination des constantes arbitraires.
*^ 3. Fonctions à radical carré, recouvrant un polynôme du quatrième degrë.
301. Nous allons entrer dans une analyse beaucoup plus compliquée en discutant le cas important où le radical qui entre dans la fonction /est de la forme
et nous remarquerons d'abord qu'on peut y ramener celui où la fonction renfermerait deux radicaux
]/aL + ^ + yx*, V^ a. + Pi* + 71**1
car on chasserait le premier en posant, d'après ce qui a été dit ci-dessus,
JC =
et la substitution de cette valeur de x dans le second radical le changerait en un radical de la forme {/).
Nous ferons remarquer en second lieu que toute intégrale de la forme
/désignant une fonction algébrique par rapport à x et à R, peut être ramenée à dépendre d'une autre intégrale de la forme
R F désignant une fonction rationnelle. En effet, /(x^R) ne
INTÉGRATION DES FONCTIONS ALGKBRIQDES. là
peut avoir que la forme
fy ^f 4^y W désignant des fonctkms rationnelles de JCi, Or^ si l'on multiplie les deux termes de cette fraction par ^-R% on la mettra sous la forme
qui équivaut à
fa?————.
f, F désignant deux fonctions rationnelles de x.
