INTÉGRALES TRIPLES
3* Fangle \^ que la projection du rayon vecteur sur le plan forme avec le rayon fixe. Si l'on prend pour plan fixe (ou plan fondamental , comme quelques-uns l'appellent) celui des x^j et pour rayon fixe le demi-axe des j: positifs, on passera dès coordonnées rectangulaires aux coordonnées polaires au moyen des formules ar=rsin6cosv|^, /==rsinô sinij', z=rcos6.
Dans le système des coordonnées géographiques^ l'angle ^ correspond à la longitude, et l'angle 6 est le complément de la latitude, quand on suppose l'origine des rayons vecteurs au centre du globe. Le rayon vecteur décrit un méridien lorsqu'on fait varier l'angle 9, l'angle i/ restant constant, et il décrit un parallèle lorsque 9 reste constant et que l'angle ^ varie.
Concevons une surface sphérique ayant pour centre Vorigine O Qfig* 87) et pour rayon OR=r, à la surface delaquelleonprend deux points infiniment voisins m,v; de façon qu'on passe du point m au point v en faisant varier ^ de c^et^ de d]/. iLes points /tz, v sont deux sommets opposés d'un quadrilatère sphérique, formé par deux arcs de méridiens infiniment voisins /72|je., nv, et par deux arcs de parallèles aussi infiniment voisins /7^/^, p. On a m^=m=rcfyy etmn (qui ne diffère de p que par un inSniment petit du second ordre) = mpd"^ =rsin6é/d/. Donc la surface du quadrilatère sphérique, que l'on peut prendre pour un rectangle quand on néglige les infiniment petits des ordres supérieurs au second , a pour valeur r^ sin ^d^d^. En multipliant cette aire par <ir, on a le volume d'un élément de la pyramide Ow/ivjA. Le volume entier du corps se décompose en éléments ainsi^éfiuis, et par conséquent ]VI==/i5^F(r,9,^)rV//sin Sr^^,
F(r,6,'l') étant ce que devient la fonction f{x^^z) par (a
substitution des valeurs de x^jr^z eu r,6,'}'.
Le volume du corps, ou l'étendue de Tintégrale a
pour mesure
V=^r*rfr8inO^*«^.
Si Toriglne des rayons vecteurs est dans l'intérieur du
corps, et si le corps est limité par une surface convexe
eu tous ses points, ou du moins par une surface de forme
telle que chaque rayon vecteur ne la rencontre qu'en
un seul point, l'équation de cette surface est de la forme
r=f(6, if),
la fonction f n'admettant qu'une valeur réelle et positive
pour chaque système de valeurs de 6 et de ^. Dans ce cas
Si la surface enveloppée avail une forme différente, ou si l'origine des rayons vecteurs était autrement placée, il faudrait déterminer les limites des trois intégrations simples par une discussion spéciale pour chaque cas, et qui ne peut offrir d'ailleurs aucune difficulté.
L'intégrale double
a pour valeur ^tz ou la surface de la sphère du rayon i, comme cela doit être.
* 364. Le calcul d'une intégrale triple peut se simplifier beaucoup par un choix convenable de variables ou de coordonnées. Soient donc a,p,y trois nouvelles variables liées à x^/y z en vertu des équations'
^=<p(a,P,Y), r=4<a,P,Y), «='Ci(a,P,Y)'
mTl^GRALËS TRIPLBS. 111
et posons
/(^,7,^)==F(a,P,y), dx =; (fja + <f^d^ -f- 93rfy, (g)
dy = ij/.rfa + 4».rfp + ^^d^, (h)
dz =iiî,^a +xiarfP+x;^3^y. («)
Pour chasser d'abord de l'intégrale M la différentielle dz^ on remarque que cette différentielle est prise en supposant constantes les deux coordonnées x^y^ et par conséquent dx=:Oj dj^=o^ ou bien
Çi^iït+ç.rfp + fjrfy^o, if,dai-\'i(^d^-\-if^d^=o.
On tire de ces deux équations les valeurs de doL^ d^j et en les substituant dans l'équation (i), on a
dz= — I s .rf/ï
CD posant, pour abréger, En conséquence, il vient
Mais la coordonnée y doit être traitée comme une constante dans les intégrations relatives à / et à .r, ce qui réduit les équations (g) et (h) aux équations (e) et (f) du n** 357; et l'on a, par ce qui a été démontré dans ce n",
donc
M=/?rF(a,p,y).0rfarfprfy, et
V=^0^arfprfy.
Le polynôme 0, par la symétrie de sa composition, ne pourrait que changer de signe, si l'on opérait dans un ordre différent l'élimination des différentielles rfj;, djjdz; mais d'ailleurs le signe de e est indifférent, et l'on ne doit avoir égard qu'à la valeur numérique de ce facteur,
112 LIVRK V. CHAPITRE VI.
puisque Tintëgrale V mesure ua volume^ qui mesure à son tour Tétendue de l'intégrale triple M. Si l'on prend
a;==rsinOcos<J», j=rsin6sin •];, 3==:rcosÔî il viendra
9, ==:sinôcos^, 9,==/'COsOcos]/, <P3= — rsinSsînij;,. (}*, :==sin ôsinij;, ^, = rcosOsin ^, <j;3 =rsin6cos^, t;j^==3Cos6, 'C^a== — rsin6, -dji^o;
d'où 0 z=: r'^sin 0, ainsi qu'on l'a trouvé directement, par la construction géométrique.
365. La théorie des intégrales doubles et triples peut sans difficulté se généraliser et s'étendre aux intégrales quadruples, quintuples, etc. On comprend que les questions de physique mathématique doivent souvent conduira à des intégrales plus élevées , quant au degré de multiplicité, que les intégrales triples. Par exemple, si l'action F du corps M sur le corps M' est la somme des actions que chaque élément de M exerce sur chaque élémejat de M', on a^ en désignant par /*(x,j^,i;;j/^,z') l'intensité de l'action qu'exerce l'élément m du corps M, dont les coordonnées sont x^j^ z, sur l'élément m' du corps M', dont les coordonnées sont x\j , z\
c'est-à-dire que la valeur de F dépend essentiellement d'une intégrale sextuple, laquelle peut néanmoins, dans certains cas, par un choix convenable de coordonnées, être ramenée à dépendre d'intégrales d'un degré de multiplicité moins élevé.
