GÉOMÉTRIQUES ET PHYSIQUES

^ i^*". Intégrales doubles. — Application à la cubature des volumes terminés par des surfaces courbes quelcooques.

351. So\tf{xjy) ^^^ fonction de deux variables indépendantes x^y laquelle est supposée conserver toujours des valeurs finies entre les limites x^y ^^Jo^y* On pourra prendre d'abord la somme des valeursinfinîment petites de f (Xy j) dj entre les limites j^^ jr; et cette ^mme,ou l'intégrale définie

sera une certaine fonction de x. Si Ton prend ensuite la somme des valeurs infiniment petites de

entre les limites x^^ x, on aura Y intégrale définie double

ou, en supprimant les parenthèses pour plus de simplicité dans récriture,

/ ^ l/i^ir)drdxj («)

et cette somme est manifestement celle de toutes les valeurs infiniment petites du second ordre que peut prendre

88 LIVRE V. CHAPITRE Vï.

la fonction

quand on y fait varier x par intervalles infiniment petits dxjjr par intervalles infiniment petits d/^ entre les

limites ^o, ^; To-tJ^

En d'autres termes, si Ton divise l'intervalle x — x^ en m parties égales ^pCy l'intervalle /— ^o en n parties égales ^j; que l'on prenne la somme de toutes les valeurs de la fonction

f{x,y)tiJr^x (*)

en combinant toutes les valeurs de x comprises dans la série

^oi ^o-h ^} ^o-f- aAo:,, ..x^+{m — i)Aar, avec toutes les valeurs de^ comprises dans cette autre série

^o,7o + Aj,^.+ 2A/,...7o + (« — OA^j à mesure que l'on prendra pour m et n des nombres plus grands, ou pour les intervalles A.r, ^j des fractions plus petites des intervalles primitifs, la somme obtenue convergera vers une certaine limite, qui est précisément la valeur de la double intégrale (a).

Il suit de là, que l'ordre des intégrations n^a aucune influence sur la valeur de l'intégrale double, et qu'on peut écrire indifféremment

/ ^ / ^A^yfyfydxy ou / "^ / V(^,7-)rfjrrf/.

352. Si l'on construit la surface dont Xy y tt z :=• /(x,^) désignent les coordonnées rectangulaires, la quan* tité {il) mesurera le volume d'un parallélépipède rectangle qui aurait pour base ^x Hj, et pour hauteur l'ordonnée z. Les intersections des plans latéraux de ce parallélépipède avec la surface circonscrivent un quadrilatère courbe dont la projection en xy e%i le rectangle

IITTÉGRALES DOUBLES. ^ GUBATORBS. 89

àa:àjr. Le volume compris entre ces plans latéraux, la base du parallélépipède {b) et la surface z'=zf{x^y)^ ne diffère du volume du parallélépipède {b) que par un certain volume (p) moindre que Aj? ^jr (àz), {bS) étant la différence des valeurs extrêmes que prend l'ordonnée z pour les points de la surface qui se projettent en ^r;^ dans Tintérieur ou sur le contour du rectangle Ao: ^y. Quand la fonction z n'éprouve pas de solution de continuité du premier ordre, (Az) est une quantité du même ordre de grandeur que A.r, Sy : donc, si Ao;, Ly sont des quantités très-petites du premier ordre, auquel cas le volume du parallélépipède {h) est une quantité très-petite du second ordre, le volume (^) se réduit à une quantité très-petite du troisième ordre. Donc l'intégrale {a)^ qui est la limite vers laquelle converge la somme des quantités {b) par le décroissement indéfini des dimensions Ao:, A^, mesure le volume limité dans un sens par le plan xy^ à Fopposite par la surface courbe, et latéralement par ^dXr^ plans, dont deux sont menés parallèlement au plan xz aux distances ^09 7*- Le quotient

J ''^Jjr

'dydx (^-^.)Cr-ro)

exprime encore la moyenne de toutes les valeurs , en nombre infini, que prend (pour les points du plan xj compris dans l'étendue du rectangle déterminé par l'intersection dé ce plan avec les quatre plans perpendiculaires que l'on vient de définir) la hauteur z, ou plus généralement la fonction /(x, 7-) qui peut avoir une signification géométrique ou physique quelconque [33].

90 LIVRÉ y. CHAPITRE VI.

353. Quand on aura effeetué les deux intëgraticms indiquées par l'expression (a), le résultat obtenu sera une fonction des limites supérieures x^ j que nous désignerons par Y{x^y)\ de sorte qu'on a, en vertu de la définition,

Si l'on pouvait trouver, par un moyen quelconque, une fonction F (^, j) qui satisfît à l'équation (c), la fonction f étant donnée, toute autre fonction de la forme

F(^,7) + ça; + +7, ^ (cO

où 9, ^ désignent des fonctions absolument arbitraires, y satisferait pareillement. £^n effet, quand on prend la dérivée partielle de la fonction (c,)* par rapport à x, on fait disparaître la fonction ^y^ et ensuite, lorsqu'on prend la dérivée partielle par rapport à ^ de la fonction

dx dx^

on fait disparaître la fonction ^^. Le résultat serait le

même, si l'on opérait les deux différentiations dans un ordre inverse.

Pour trouver une fonction F(^,^) qui satisfasse à l'équation (c), il suffit de prendre d'abord l'intégrale indéfinie

en regardant x comme une constante, et après avoir multiplié par dx le résultat obtenu, de prendre encore l'intégrale indéfinie de cette fonction différentielle, en traitant dans la seconde intégration x comme variable et

INTÉGRALES BOUBLES. -^ ÊUBATURES. 91

/ comme constante. On indique cette douMe opération par

Si l'ofi pratiquait les intégrations indéfinies ' dans un ordre inverse, comme l'indique l'expression

la fonctioa F, (^,^) que l'on obtiendrait, ne pourrait différer de la fonction Y[x^y) obtenue en premier lieu, que par l'addition de termes de la forme <pj7 + i|;j -f- const,^ qui s'en vont à la suite de deux différentiations partielles, Tune par rapport à x^ l'autre par rapport à jr.

L'expression {d) est celle d'une intégrale indéfinie double.

354. Revenons aux intégrations définies qui font l'objet spécial de ce chapitre. Au lieu de prendre l'intégrale

entre des limites j^^? Jx ^^ ï^ variept point avec x, on pourrait I4 prendre entre des limites variables <p<yX, <p. x; et alors l'intégrale définie

serait encore une fonction où la variable x entrerait seule. En intégrant une seconde fois par rapport à x^ entre les limites ^09 «^19 on aurait l'intégrale définie double

/{x^yijrdx = V.

Pour se faire une idée claire du résultat de cette opération, on peut concevoir que les valeurs extrêmes x^^x^ sont représentées (fig. 80) par les abscisses Cp^^ Op^ ; les fonctions ?o<^9 ?i-^ par les ordonnées des lignes ou des portions de lignes mjijn^^ mjiijn^\ enfin que la

92 LIVBE V. CHAPITRE VI.

foiictîony(x^)=2est représentée par l'ordonnée d'une surface courbe, élevée perpendiculairement au plan xy. En vertu de ces hypothèses, et d'après ce qui a été expliqué dans Tavant-dernier n®, l'intégrale V mesure le volume limité dans un sens par le plan xy^ à l'opposite par la surface courbe dont z est l'ordonnée, et enfin par une surface cylindrique qui a pour section droite le périmètre m^ n^ m^ n^.

Plus généralement, si l'on désigne par A l'aire que

ce périmètre circonscrit, le rapport -^ exprime la

moyenne de toutes les valeurs, en nombre infini, que prend, pour tous les points {pcy) compris dans la circonscription du périmètre, la fonction /"(j;,^) qui peut avoir une signification quelconque, géométrique ou physique.

Rien ne s'oppose d'ailleurs à ce que l'intégrale Y soit réelle, quoique la fonction y (^,7-) prenne des valeurs imaginaires, ou même reste c*onstamment imaginaire dans l'étendue de l'intégration : et alors cette intégrale n'a plus de signification géométrique ou physique.

Menons parallèlement à l'axe des x les droites n^ Çoj ^iÇx', qui limitent le périmètre; désignons par XojJ^t ^^ ordonnées O^r^, OÇt, et par ^o^, +,/ les valeurs de l'abscisse X en fonction de y pour les portions de lignes n^m^Ux^ n^m^n^ : nous aurons évidemment

355. Lorsque la fonction fix^j) passe par l'infini dans l'étendue de la double intégration, l'intégrale double ne peut plus être considérée comme une somme d'éléments, et tous les raisonnements fondés sur cette con-

IITTEGRALBS DOUBLES. C0BA.TURES. 93

sidératioQ tombent en défaut. Ainsi, comme M. Cauchy l'a remarqué le premier, la double intégration peut donner dans ce cas des résultats difTérents, selon Tordre dans lequel on effectue les intégrations simples. Prenons pour exemple l'intégrale double

pour laquelle le coefficient de dxdj- devient infini, lorsqu'on fait ^r=o, j^=o. On a, en intégrant d'abord par rapport à la variable a;,

et en intégrant ensuite par rapport à ^,

Si les intégrations s'effectuent dans un ordre inverse, on a au contraire,

tC-r

dx

en sorte que la différence des deux valeurs obtenues est égale à 21?.

Désignons par F(j7,^) une fonction telle que

et soit

ou, ce qui est la même chose, l'intégrale double

ll^y{^jr)dxdxy

sera indifféremment représentée par

de façon qu'on aura en général, pourvu que y (a:, ;^) ae passe pas par l'infini , dans l'étendue de la double intégration,

Admettons maintenant que les valeurs ^c=5, JK='^j rendent / (p^fj) infinie, et désignons par e un nombre positif qui converge indéfiniment vers zéro : on aura, d'après l'équation précédente,

=r' ['K^x,r)-'K^o^)Mr-P" [«K$+e,r)-'K5-e,j)]rfr.

A la limite il viendra :

/ *' [?(^»r.)-?(^.r.)]«^ =/ "^' ["K^o/)— 'K-ï'o.7)]rfj

ou

/ ' / '' f{x,r)dydx — i ^' j"f{x,y)dœdx j ^<>j y^ Jy^j ^o

= lim.f^' [4.(5+ t^)—^l~ £^)] djr.

%/ yo

Pour obtenir la limite indiquée, on ne doit faire g=o qu'après avoir effectué l'intégration par rapport à ^, attendu [3^3] que la fonction ^J; {x^y) devient infinie par hypothèse, pour une valeur de y comprise entre les limites de l'intégrale.

INTEGRALES DOUBLES. GOBATtlBES. 96

Dans l'exemple donaé plus haut, on a

valeur qui se réduit à ^t? à la limite, quand on fait e==o, ainsi qu'on l'a trouvé par le calcul direct de l'intégrale double, en prenant successivement les intégrales simples dans deux ordres différents.

L'intégrale simple

J"^"[k^+«,r)-'K5-«,r)]rfr

est du nombre de celles qu'on a appelées singulières : la quantité e étant regardée comme infiniment petite , tous les éléments de cette intégrale sont nuls, à l'exception de celui qui correspond à ^=Ta, valeur pour laquelle le coefficient de dj- devient infini.

£n opéraùt dans un ordre inverse on tomberait sur 1 mlégrale singulière

[(p(^,yi + e) — (p(ar,Tï — e)]^ =' — air.

S'il y a, dans l'étendue de la double intégration, plusieurs systèmes de valeurs de x^j- pour lesquels la fonction/(o:,^) devienne infinie, la différence entre les deux valeurs qu'obtiendrait l'intégrale double, selon l'ordre des intégrations simples, se composera d'autant d'intégrales singulières qu'il y a de ces systèmes de valeurs.

356. Quand la ligne m^n^nfij^n^ (y%"-85), qui limite l'étendue de l'intégrale double

y::=/rf{x,y)dydx.

est donnée par une équation en coordonnées polaires r=f<p, OQ peut prendre pour élément de Taire dans Tétendue de laquelle la double intégration s'effectue, au lieu du rectangle infinitésimal dj-dx^ Taire mp/i limitée par deux rayons vecteurs Omn^ Op, faisant entre eux Tangle infiniment petit df^ et par deux arcs de cercles m(i, /iv, Tun décrit du rayon Om=ry Tautre décrit du rayon Onr=zr-\-dr. La surface de cette portion de secteur circulaire a pour valeur

ou simplement rdr é/<p, en négligeant un infiniment petit du troisième ordre. £n conséquence, si Ton désigne par F(r,ç) ce que devient / (j;,^), ensuite de la substitution des valeurs de x^jr en r, f , il viendra

V = r *"" r ^"^ F(r,9) rdràf.

Lorsque la fonction F (/*,<p) se réduit à Tunité, Tintégrale y exprime simplement Taire limitée par la courbe r=f<p, et Ton a

ce qui s'accorde avec le n"* 1 80.

Nous avons supposé, pour plus de simplicité, i"* que Torigine des rayons vecteurs tombe dans l'intérieur de Taire limitée par la ligne r=f<p; a" que, pour chaque valeur de y, r n'a qu'une seule valeur réelle et positive. Lorsque ces conditions ne sont pas satisfaites, les intégrales doivent être prises entre d'autres limites, qu'il est aisé d'assigner dans chaque cas particulier.

357. En général il peut se faire que par un changement de variables, correspondant géométriquement à un changement de coordonnées, le calcul de la double inté-

IICTÉGRALES DOUBLES. CUBATURES. S>7

grale y devienne plus simple; et en tout cas, il importe d'examiner ce que devient cette intégrale par un cliangement de variables. Soient donc a, ^ deux nouvelles variables liées à x^y par les équations

j: = 9(a,p), ^=^a,p), et posons

/îa:,7) = F(a,P),

Pour chasser d'abord de l'intégrale V la diflférentielle dy^ on remarquera que cette différentielle est prise en 3up^ posant X constant, et par conséquent dx=Oy ou

Çjûfa + ç,rfp = o. Tirant de cette équation la valeur de d^^ eC la substituant dans l'équation ( /), on aura

ce qui donne

Maintenant il faudra prendre la différentielle dx en traitant a comme une quantité constante, ou en posant dans l'équation {e) d9c=o ,d'oîi dx=(^^d% et par suite

£n opérant l'élimination de dxy dj dans un ordre inverse, on aurait eu symétriquement

expression qui ne diffère de la précédente que par le. signe : or, comme l'intégrale

//dydxz:^/f{ffj\(, — ffj\f,)dad^, prise entre les mêmes limites que V, est la mesure d'une

98 LIVRB V. CHAPITRE VI.

aire, qui mesure elle-même l'étendue de fintégrale Y, on ne doit considérer que la valeur absolue de cette intëgrale, et le signe du facteur f,^, — f^^i ^«t indifférent.

Si Ton prend

anrr, P=9, a: = rcos<f, jnzrsînç, on a

ç, = cosç, tj;, = 5În9, (p,=: — rsinç, ^]^,zz= rcosç, d*oîi

?i+. — Ça^'i = '^ cos* ? + '' "n* <?= '•> comme on Ta trouvé directement par des considérations géométriques, trop simples pour n'être pas présentées en premier lieu.

358. Afin de donner un exemple de l'application du calcul des intégrales doubles à la cubature des corps terminés par des surfaces quelconques, proposons-nous d'évaluer le volume de l'ellipsoïde à trois axes inégaux, dont la surface, rapportée à son centre et à ses axes^ a pour équation

L'équation de la section de la surface par le plan ocy est

donc, si l'on pose, pour abréger,

a la tranche de l'ellipsoïde, limitée par deux plans parallèles à celui des^z, et correspondant aux abscisses x^^x^ aura pour valeur

ac f X ru

Or il vient

ce qui donne

La valeur de V reste réelle pour des valeurs quelconques de x^y ,x\ mais elle perd sa signification géométrique quand on donne à x^jX des valeurs numériquement plus grandes que a. En prenant x^-=i — a, x=za^ on a -^Tzabc pour le volume de l'ellipsoïde entier.

§ 2. Aires des surfaces courbes quelconques.

359. Étant donnée une surface courbe quelconque S, si, par des points très-rapprochés pris sur la surface, on mène des plans tangents, ces plans se couperont de manière à former un polyèdre, à Ëtces très-petites, qui enveloppera la surface, et approchera d'autant plus de se confondre avec S, que les points auront été pris plus voisins les uns des autres. A une portion limitée de la surface S, telle que celle qu'intercepterait une surface cylindrique ayant pour section droite une courbe fermée, tracée dans le plan xj^ correspondra une portion limitée de l'enveloppe polyédrique, savoir la portion interceptée par cette même surface cylindrique. Cela posé, on entend par Taire de la portion de surface courbe ainsi circonscrite, la limite û dont s'approche indéfiniment l'aire de la portion correspondante de l'enveloppe polyédrique, quand les dimensions des faces du polyèdre vont en décroissant indéfiniment, par le rapprochement indéfini des points de contact de la surface avec le polyèdre enveloppant.

Menons le plan tangent à la surface S au point (x,/,^), et prenons le point de projection (xyjr) pour Tun des sommets d'un rectangle ayant ses côtés ^x^ A7* respec-» tivement parallèles aux axes des iJC et des jr [352]. Les plans menés par les côtés de ce rectangle, perpendiculairement au plan xj-^ circonscriront sur la surface S une aire Au, et sur le plan tangent en (x^j-^z) un parallélogramme dont Taire aura pour valeur numérique, d'après un théorème connu de géométrie,

AjAo: cosv

(v désignant l'angle aigu du plan tangent avec celui des xy)j ou bien [^37]

Donc, par la définition même de la quantité , considérée maintenant comme fonction des coordonnées indépendantes ^,^,

(IQ = \/i-^p*^q*.djrda:, (ci>)

On tire de l'équation de la surface les valeurs des dérivées partielles /7, q en fonction de x^f : les limites de la double intégration sont données par le contour de la ligne qui circonscrit la projection sur le plan .r^^de la surface ou portion de surface dont il faut ' évaluer l'aire û.

Les éléments rfû peuvent être des infiniment petits du second ordre, même quand les dérivées pj q deviennent infinies, si d'ailleurs l'ordonnée z conserve une valeur finie [34a], ou si elle n'éprouve qu'une solution de continuité du second ordre.

L'ordonnée z et les dérivées /?, q peuvent prendre des

valeurs imaginaires, sans que les cléments dQ cessent d'avoir des valeurs réelles; et alors la formule (û) tombe eu défaut, quant au sens géométrique.

Nous regardons Téquation ((o) comme la définition de la fonction û, de même que nous avons regardé [174] Téquation

comme la définition delà fonction s. La définition phy* sique que l'on donne de la longueur d'un arc de courbe, en imaginant cette courbe formée par un fil parfaitement flexible et inextensible (ou plutôt par un fil dont la roideur et l'extensibilité sont inappréciables), ne comporte pas d'extension aux aires des surfaces courbes, à inoins qu'il ne s'agisse de surfaces développables; et de là même nous pouvons conclure qu'elle n'est pas la vraie définition de la fonction s: car l'analogie mathématique des fonctions j, û doit se retrouver dans les définitions de ces deux grandeurs, si elles sont tirées de ce qu'il y a d'essentiel dans la nature des grandeurs définies, et non d'un caractère accidentel ou secondaire.

* 360. Cherchons, d'après la formule (û), l'expression de la surface de l'ellipsoïde quelconque

nous aurons

de manière que, si l'étendue de l'intégrale est limitée,, sur le plan .r;^, par le contour de l'ellipse

et si Ton désigne par Û Taire de la portion de surface

102 UVRfi V. CHAPITAE VI.

située d'un côté du plau xj-, ou la moitié de l'aire totale de l'ellipsoïde, il viendra

dydx^

Admettons, ce qui ne restreint point la généralité de la solution, que l'ordre de grandeur des demi-axes a^b^c soit exprimé par

et posons

d'où

nous aurons

de façon que le calcul de û sera ramené à celui de l'intégrale double

TauxUiaire X, étant déterminée par Téquation

ou

Mais rien n'empêche de considérer les nouvelles variables Ç, Y}, C comme des coordonnées rectangulaires, et alors l'intégrale u pourra aussi être considérée comme exprimant le volume limité par le plan % y), par la surface cylindrique

et par Tordonnée 2[ de la surface (2), prise positivement. Or, «i Ton fait mouvoir un plan parallèlement au plan ^T), dans le sens des ^ positifs, ce plan, en vertu des inégalités (i), ne rencontrera pas la surface (a) dans l'intérieur du cylindre (3), tant qu'on aura 2[< 1. Quand C deviendra égal à Tunité^ le plan mobile touchera la 8ur> face en un point situé sur Taxe des ^, et ensuite il ha coupera suivant une série d'ellipses qui auront pour demi-axes

ces demi-axes devenant égaux entre eux et à lunitë, pour ^izzioo .

D'api-ès cela on peut encore évaluer le volume u en prenant pour élément du volume la différence infiniment petite de deux cylindres dont la hauteur commune est Ci et dont les bases sur le plan ^n sont deux ellipses ayant pour aires [338]

ir.SH, 7c(SH + ^^0.

Donc on a

.rf.BH ,„

et par cette considération ingénieuse, due à M. Catalan ('), l'intégrale double qui exprimait la valeur de u se trouve transformée en intégrale simple.

Maintenant l'intégration par parties donne

yr-0 r {r:-i)dr

(*) Voyez le Journal de mathématiques de M. Liouville, loin. IV, pag. 323 , el loni. V, pag. 11 5,

104 LIVKE V. CHAPITRE Vf.

Soit

smf il viendra

Sin*9 ^ ^ ^ *^7 J/'a'-P'8in>

En faisant les substitutions convenables, on trouve que

la yaleur de l'intégrale définie ~ se compose de deux

parties : l'une donnée par les termes hors du signe f, et qui est égale à la difFérence des valeurs que prend la

fonction-

(a'-4-P'cos*9 — i)sinç

cos<pï/'ir:rp*«in*9 '

quand on y fait à la limite supérieure sin f =o, et à la limite inférieure sin <p=:a. Cette différence se réduit à

L'autre partie est forméede l'intégrale

prise aussi entre les limites sin 9=0, sin <p=:a, ou <p=:o, (p=[x., en désignant par sinfi. la constantea, plus petite que l'unité. Renversons l'ordre des limites, et employons la notation des fonctions elliptiques, en posant pour simplifier

cette partie de la valeur de - s*exprimera par

a.E(*,(.)H-i=:^*.F(V), ou par

en remettant pour a sa valeur. En conséquence la sur- Ëice du demi-ellipsoïde a pour expression

* 361. Proposous*Dous encore d'évaluer la surface convexe d'un cône oblique, à base circulaire; et à cet effet, plaçons le sommet du cône à l'origine des coordonnées {fig. 86) et la base circulaire dans un plan paraHèle à celui des yz^ de manière que le point C, centre du cercle , tombe dans le plan xjr : on aura , pour les équations de la base du cône,

^— Ç = 0, Z* + (^— Yîf— p''c=0,

et pour celle de la surface conique,

ÇV+ {^x—lyf— p'^=ô. (4)

Nous désignons par \ l'abscisse OP ou la hauteur du cône, par t\ l'ordonnée PC du centre de la base, par p le rayon de la base CR^=CR,.

En tirant de l'équation (4) les valeurs de /?^, y*, on a

Si nous posons, pour faciliter l'intégration [^67], f=0LXj CL désignant une nouvelle variable, nous aurons dj=ixda.'\'(idx^ et pour le cas où l'on fait varier r en

106 tIVRB V. — CH^IPITBE VI.

traitant x comme une constante, dy==xda.^ d'où

Effectuons l'intégration par rapport à x entre les limites .r=io, x=\y et doublons le résultat, afin d'avoir l'aire des deux portions de la surface situées de part et d'autre du plan xj^ il viendra

Les limites de l'intégrale sont

correspondant à a:=Ç, et à

On obtiendra une expression plus simple, en posant

>j — Ça=pcos9, d'où

et il est facile de voir que cette intégrale rentre dans la classe de celles qui peuvent s'exprimer par les fonctions elliptiques/

En général, la quadrature des surfaces coniques se ramène au calcul d'une intégrale simple, comme celle des surfaces de révolution; car l'équation générale des surfaces de la première famille, quand on place, comme cela est permis, le centre de la surface à l'origine des coordonnées, étant [^49].

on a

^7» , fr\ Y ,, /r\ dz

IITTiÉGRALES TRIPLES. 107

et après qu'on a posé, comme ci-dessus, il vient

Û ^=ff\^ I + (^l^a — tt+'a)» -h rt'a)' . xdxdo. = \f\/ 1 + ((^x -. «f a)» + (4»'a)* • ar Va.

5 3. Intégrales triples.

362. On n'est pas conduit, dans les questions de pure géométrie, a considérer des intégrales triples^ de la forme

mais, par contre, il est évident que des intégrales de cette nature doivent figurer dans toutes les questions de physique oii il n'est pas permis de faire abstraction de quelques-unes des dimensions des corps. Si, par exemple, il s'agit d'évaluer le poids ou la masse d'un corps dont la densité, variable d'un point à l'autre, a pour mesure f{Xyjr,z) au point dont les coordonnées rectangulaires sont Xjjr^z, ce poids ou cette masse seront mesurés par l'intégrale M, dont les limites devront être choisies de manière à comprendre précisément l'espace occupé par le corps. Si l'on divise M par le volume du corps, ou par l'intégrale

prise entre les mêmes limites, on obtiendra la densité moyenne du corps, ou la valeur moyenne de la fonction y* dans l'étendue de la triple intégration. Ce sont là autant de conséquences manifestes de la définition même de la fonction/* [i3o], et de l'hypothèse de la continuité de la matière, sur laquelle cette définition repose. Nous donnerons par la suite quelques éclaircissements sur l'interprétation que cette théorie doit recevoir, quand on

108 LIVKK V. CHAPITRE VI.

considère les corps comme des systèmes de particules disjointes.

Si la fonction y*mesurait une température, le rapport

JUÊ

==- serait la température moyenne du corps, et ainsi de

suite.

La première intégration par rapport à z aura lieu entre des limites qui sont des fonctions des deux autres variables indépendantes a:,^, et qui représentent les ordonnées (perpendiculaires au plan xjr) des surfaces ou portions de surfaces par lesquelles le corps est limité. L'étendue des deux intégrations subséquentes par rapport à X et h j^ sera celle de Taire circonscrite sur le plan xj- par Tintersection de ce plan avec un cylitidre tangent à la surface du corps ^ et dont les génératrices sont parallèles aux z.

L'ordre des intégrations simples, est indifférent, quand la fonction f{x^y^z) ne passe point par Tinfini dans rétendue de la triple intégration : autrement on tombe sur des singularités analogues à celles qui ont été remarquées au sujet des intégrales doubles.

363. Pour prendre, dans l'étendue de l'espace occupé par un corps, une intégrale définie triple , il convient souvent de substituer au système des coordonnées rectangulaires un système de coordonnées polaires dont l'emploi est d'ailleurs naturellement suggéré par les besoins de l'astronomie et de la géographie. Imaginons un plan fixe mené par l'origine des rayons vecteurs, et un rayon fixe tracé dans ce plan; la position d'un point dans l'espace est déterminée lorsqu'on assigne i"" la longueur r du rayon vecteur; a* l'angle 0 que forme le rayon vecteur avec une droite perpendiculaire au plan fixe;