ÉTENDUE AUX INTÉGRALES DOUHLES

S i^. Applications du calcul des variations des intégrales simples à des problèmes de maxima et àû minima.

382. De la ligne la plus courte sur une surface donnée. Puisque la droite la plus courte ou la plus longue qu'on puisse mener d'un point à une ligne ou à une surface , est la normale abaissée du point sur la ligne ou sur la surface , il est aisé de voir que la ligne la plus longue ou la plus courte qui puisse être menée entre deux lignes oii entre deux surfaces , est la normale commune aux deux lignes ou aux deux surfaces. Nous nous contenterons d'indiquer l'application des formules générales du chapitre précédent à un cas si simple; et nous passerons au problème qui a pour objet de déterminer la ligne la plus courte que l'on puisse tracer sur une surface donnée, entre deux points fixes , ou entre deux courbes fixes tracées également sur la surface. 11 est évident que le problème n'admettrait pas de solution , si l'on substituait la condition du maximum à celle du minimum ^k moins qu'on n'y apportât des limita*tioDs, en assujettissant, par exemple^ la courbe cherchée à être plane.

L'intégrale qu'il s'agit de rendre un minimum est d'oïl l'on tire,en posant y/i j^y*^z'^=zY^

Soit F (.r,^, z)=o l'équation de la surface sur laquelle la ligne cherchée doit se trouver : il viendra rfF. rfF. d¥ .

d'oîi l'on conclut , en chassant 8x sous le signe /^ et en égalant à zéro les multiplicateurs de fy,èz,

fdF dF\\v) ^ ^,^/(v)^„ \jcLx: dy ) dx dy * dx

Mais, puisque la courbe cherchée doit se trouver sur la surface, les dérivées y, \s' sont liées par l'équation

rfF ^d¥ ,dF

dx -^ dy dz

en conséquence les deux équations (i) deviennent identiques, comme cela doit être, et elles prennent la forme

dF

dz dx dy dx ^

Il faudrait substituer dans cette dernière équation les valeurs de z, z' en fonction de x, y^y, tirées de l'équation de la surface , et intégrer : mais en conservant à la

APPLICA.TI01fS DU CALCUL DES VARIATIONS. 137

fonction F sa généralité, nous allons tirer de l'équation (2) la démonstration d'une propriété caractéristique des courbes qui satisfont aux conditions du problème. On a, en désignant comme à l'ordinaire par s l'arc

delà courbe,

y df z' dz

au moyen de quoi l'équation (a) revient à la proportion

dj- ' dz ' * ds ' ds ^ d'où l'on conclut , à cause de la symétrie ,

dS d¥ dY ''(J) ''(è) ^(i) „.

dx ' djr ' dz ' * ds ' ds ' ds

Mais si l'on désigne par X, (x, v ; V, (a', v' les angles que la normale à la surface et le rayon de courbure de la ligne cherchée font avec des parallèles aux axes des x, y, z dans le sens des coordonnées positives, la proportion (3) revient [228 et 287] à

cosX : cosjA : cosv :: cosX' : cosfii.' : cosv'. Donc XrrzV, (ji.=:|jl', v=v'. Ainsi la ligne tracée sur la surface, de manière qu'entre deux points quelconques elle soit plus courte que toute autre ligne assujettie à rester sur la surface et à passer par ces deux points, a son plan osculateur constamment normal à la surface. 383. L'équation aux limites

se trouve satisfaite d'elle-même, si les deux points extrêmes de la courbe cherchée sont fixes et donnés de position, car alors on a*

*j7^=o, èjr„=zOy ^x^zzzoj ^^,=0, J/,=:o, 4». = o, Supposons qu'il n'en soit pas ainsi, mais que chacun des deux points extrêmes soit assujetti à se trouver sur une courbe donnée, tracée sur la surface. On aura^ en chacun des deux points extrêmes, en supprimant ^ pour plus de simplicilé , les indices o, i <]ui les particularisent,

ou bien

Or, le point extrême (x,^, z) ëtant assujetti à se trouver sur une ligne donnée, ^,-j-, sont des quantités déterminées par le tracé de cette ligne, et qui mesurent les tangentes trigonométriques des angles que font avec l'axe des jc les projections sur tes plans des xjr et des xz de la tangente à cette ligne au point {x^j^y z). D'un autre côté, y, y sont les tangentes trigonométriques des angles que font avec le même axe les projections sur les mêmes plans de la tangente à la ligne la plus courte, menée par le point extrême. Donc l'équation (4) exprime que la ligne la plus courte coupe à angles droits les deux lignes tracées sur la surface, et sur lesquelles les points «Kirêmes sont respectivement assujettis à se trouver.

3i84. De la surface de rét^hnion à aire minimwn. On demande de déterminer dans le plan xy la courbe passant par deux points donnés {x^^y^y {^i9Jk)j V^> par sa révolution autour de l'axe des ^, engendre la surface de révolution dont l'aire ( comprise entre deux plans perpendiculaires à l'axe des x, et passant chacun par l'un des points donnés) est un minimum. L'intégrale

A.PPLIGATIONS DU CALCUL DES VARIATIOWS. 139

dont la variation doit s évanouir , est [35o]

'r^TTP^.dx; (5)

et réquation (a) du n^ S^S devient dans ce cas particulier

Si Ton prend j- pour variable indépendante, cette équation revêt la forme

Mais on a, dans la même hypothèse, dx rf'jf dy itjr

ds ds* ds ds* '

ce qui permet de changer l'équation (6) en

dx dy ^ rf*x On en conclut

ds ds ^^ de'^ ds ~°'

b désignant une constitnte arbitraire ; et par suite , en élevant au carré, et en remettant pour ds^ sa valeur,

rfr=--^=. (9)

£ofin une nouvelle ioatégcaticHi donne

Puisque les coordoDoëes des deux points extrêmes sont desoMtstantea données, TéquatioD aux timhes se trouve satisfaite d'elle^^nême.

D'après réqoatîoa (S), la constante b repffésesnle la valeur de Tordonnée^ pour le point de la courbe où la

taqgente est parallèle à l'axe des j; : on en déterminerait la valeur en calculant ^ par des approximations successives y la racine de l'équation transcendante

a:, — x^=zb\os{ - — - — / ).

Afin de mettre sous sa forme la plus simple l'équation de la courbe qui satisfait au problème, faisons passer l'axe des^ par le point de la courbe où la tangente est parallèle à l'axe des x, ce qui revient à intégrer l'équation (9) en supposant qu'on ait à la fois a: = o , j'=^b : il viendra

d'où

et par suite*

On tire ensuite de l'équation (8), en prenant pour origine des arcs le point dont l'abscisse est nulle ,

La courbe dont on vient de trouver l'équation est connue sous le nom de chaînette; parce que, comme on le prouve en mécanique , cette courbe est celle qu'affecterait un fil pesant, homogène, parfaitement flexible , et suspendu par deux points. Galilée, qui s'en est occupé, l'avait confondue avec la parabole; mais Leibnitz en a ramené la construction à celle de deux logarithmiques , construction qui ressort de l'équation (10),

La chaînette jouit , comme la cycloîde, de propriétés curieuses , en outre de celles dont il vient d'être ques-

tion. Soit MBM' (y^. 89) cette courbe , symétrique par rapport à l'axç OY, XX' l'axe autour duquel la courbe doit tourner pour engendrer la surface de. révolution dont l'aire est un minimum : l'ordonnée minimum OB représentera le paramètre b. £n vertu des équations (8) et (10), on a

\/T7^—y, tl — L^ ^ ^^H^—V dx^ — b^'

de sorte qu'en tous les points de la chaînette, la normale [172] et le rayon de courbure [igS] ont pour va-

leur commune^. Au sommet B le rayon de courbure

passe par un minimum^ et a pour valeur le paramètre b. Si, du point P, pied de l'ordonnée PM =:jr, on abaisse sur la tangente MT la perpendiculaire V\Ly on aura Pji. : MP :: PT : MT. Mais