Apphquons cette analyse à Tintégrale

dans laquelle nous supposerons nKn^meXn désignant d'ailleurs des nombres entiers positifs. L'équation (5) devient dans ce cas

et il faudra [79] y substituer successivement pour a-j-p\/d7 les diverses valeurs que l'on tire de la formule

cos-^ — ^ + l/^— i.sin^— ' ^,

en donnant successivement à / les valeurs o, i , a , 3, . . . . . ., n — 1.

Or, on a par la formule de Moivre [77],

r (ii+i\K ^ . (2^+I)wV"""*'"■"'

I cos ^ ^^ -h V^— I . sm^^ i—

L 2/1 an J

=cos |(a, + i>-^ ^^ ^J

^ . F/ . \ (2»l + l)(2ïH- i)ic"l

+ V/— i.sin (2t-|-i)ic — ^ ^^ ^

(2m+l)(2i+l)lC , . . (2W-hl)(2i+l)TU

Posons, pour abréger,

Téquation (6) donnera

et par suite i^

Qi = — sin (aï+ lUir, 2n ^ '

^ = — [sin A^+-sin 3A7r+-...-|-sin (an- \)hr:\ (8)

Cette expression peut être simplifiée : car soit S=sinM-f sin(tt+t')+sin(« + 2f')+...+ sin[M+(n— i)^']; multiplions les deux membres de Fëquation par a cost^, et, la multiplication effectuée, transformons chaque terme du second membre au moyen de la formule asin(M + 7v)cosc/== sin [« -H (r -f- i)p] -|- sin [m •+■ (r- i)^], qui dérive elle-même de la relation connue

asin/?cosjf = sin(/? + y) + sin(/> — q) : nous trouverons 2Scos(^=sin(a— f)— sinii-f-aS— sin[M-f-(/i— i)f']-|-sin(M-f-/if'),

d'où

^ — sin (m — (^) + sin w + sin [a + (« — I )p] — sin {u-^-nv)