Soit demandée la valeur de l'intégrale

/r désignant une fonction algébrique rationnelle, et F:r une autre fonction algébrique rationnelle, dont le degré surpasse au moins de deux unités celui de/r, et telle que l'équation Fx-=o n'ait que des racines imaginaires, afin que la fonction sous le signe ne passe point par rinfini, dans l'étendue de l'intégration. Si Ton désigne par a±p|/^ — i un couple de racines imaginaires conjuguées de l'équation F.2:=o, l'intégrale demandée sera la somme d'intégrales partielles de la forme

*V«(:c-a)' + P'^ '^P/«(:P a)'+p" les constantes P et Q étant données par l'équation

dans laquelle on transforme très-simplement l'équation (3) du n** 296.

On a sans difficulté

quant à l'intégrale

176 LITAB Y. CHAPITRE X.

elle ne peut être considérée [3^4] que comme la limite d'une autre intégrale

^^ tdt

dans laquelle (x ^ v désignent des nombres arbitraires et e un facteur qui converge indéfiniment vers zéro. Or on a

^ fi; tdt i, r(p-i^^ + iViii

d'où, en faisant e=o, pour passer à la limite,

CûUf^AL expression indéterminée, à ceux de l'indétermination des nombres (x, v.

Désignons maintenant par a.rfc p,j/ZI7, a,± ^\/^, etc. y les autres racines imaginaires de l'équation Fj:=o, et par P„ Q,, P„ Q„ etc. , les valeurs correspondantes de P, Q: il viendra

r^dx^li^'f^,Yx'^=H^+ Q. + Q. +etc.)

+ i(P + P, +P. 4- etc.)log ("^Y

D'un autre côté l'on a identiquement

fx aP(a:— a)+2Qp , 2P,(a;-a,)+ 2QP, . .

Fx— {x—ay + i^^ "*" (a:aO" + p: ^ ' d'où il est facile de conclure que , si l'équation de condition

P + P,-4-P, + etc.=o

n'était pas satisfaite, le plus haut exposant de x dàusfa: ne serait inférieur que d'une unité , contre Thypothèse , au plus haut exposant de x dans Fx. Donc on a sîm-

INTÉGRALES DEFINIES SPÉCIALES. 177

plementy dans l'hypothèse admise.

valeur d'où a disparu tout symbole d'indétermination.

Si les fonctions fx^ ¥x île renferment que des puissances paires de .r, on aura aussi