INTÉGRALES DÉFINIES SPECIALES
à la variable j;, qui croît par différences constanles et
/ 1 * w j r: y tin — i . , .
égales a-, de .2:=:= — a^=:^ tu inclusivement.
/ï 2/1 un
Si l'on fait croître indéfiniment le nombre n y la différence Aor = - diminuera de plus en plus; et à la limite la somme (iq) deviendra l'intégrale définie log (i — 2a cos x + a^yLc.
Dun autre coté, pour des valeurs de n indéfiniment
croissantes, la quantité
(«"-Hi)"
tend indéfiniment vers la limite i ou vers la limite a**,
selon que la constante a est < ou > 1 : donc on a
U valeur de cette intégrale définie a été donnée par M. Poisson; mais la démonstration précédente^ recommandable par sa simplicité, est de M. Delaunay.
409. La combinaison des symboles imaginaires est un moyen de calcul souvent employé pour déterminer des intégrales définies. Si dans la formule {a) on change x en or, ce qui donne
et qu'on pose ensuite
elle deviendra
ou bien , après qu'on aura remplacé l'exponenlielle ima-
gindire par sa valeur en sinus et cosinus,
f (cos a'^ — ï/~ . sin a'^')rfr=^'~^~^ \/- ,
équation qui se décompose dans les deux suivantes
/ sina*^.rfr = — 'V/ -» J Jo aa V 2 f
/ cosa*x^.da: = — •!/ -• I Jo 20, ^ a }
Celles-ci donnent, quand on remplace a'x'par a:, /** sin xdx ^^ /** cos ordlr /« ^
Les équations (A) donnent encore
/ sin^*,Étr=:y/ -, / cos j:*.rfj:=:y/ -• (A')
Changeons dans la première x enx — Ç : les limites seront toujours les mêmes, et il viendra
sin (^ — aÇa; -f- Ç')Étr = / sin (:f*+ Ç*) cos aÇjrflte
— / cos {x^-k- Ç") sin aÇa: rfj: = k/ - •
Mais, comme cos (a:'-|-Ç") sin 2^' est une fonction impaire de .r, on a évidemment
cos (ar* 4- Ç*) sin a^ ûir == o ,
et par suite
/ sin(.r* + Ç*)cos 2Çj:rf^ = %/ -,
ou
Ç*/ sin x* cos 2^j: rfr + sin ^* / cos jt* cos 2^dx=\/ - En traitant de la même manière la seconde équation (h')
on aurait cos'
Ç* / cos x^ cos 2$j: djc — sin $* / sin a^ cos 2^^ dlr =y/ " !
INTEGRALES DÉFIITIES SPÉCIALES.
et de là on tire
/ cos a^ cos aÇar dx = (co&Ç* + sin Ç*)^/ - ,
/sin ar* cos aÇar «tr = (cos Ç* — sin Ç*)\/ - . £n observant que
Sin - = cos - = — r=: >
on mettra ces équations sous la forme
/ cosj;*cos25a:<ir= V/i.sinf -4-Ç*)>
/ sin j:* cos 2Ç:Frfr=i/i.sinf - — Ç* V 410. Soit
Imtégration par parties donne
/«~**'*sin bx.xdx^= r- sin ia: H -/ ô"""*'* cos ij^ctr:
d'où
/•• ^ /*oo
I ^-«»** sin bx.xdx = — - / tf-«*'* cos bxdx.
et par suite
diù b diù I , If
-n-= 1 w, ou — = -r.bdb,
do aa* iù 2a'
Donc, si Ton représente par coo la valeur de cû pouri=o,
on a
Mais, d'autre part^
Jo a«'
donc
184 LIVKE V. — CHAPITRE X.
^-*'*** cos ba:da; == — ^ . e" 4^« (k)
Quand on fait converger a vers zéro , le second membre de l'équation précédente converge vers zéro [89]: donc , à la limite , et pourvu que b ne soit pas nul , on a
cosbxcLrs=o.
conformément au résultat trouvé [3^5].
41 1. li'intégrale double
lî = / / 2e-/'('+'') cos bj; .ydydx devient , quand on effectue d'abord l'intégration relative
^ /* ** cos bx.dx
Si l'on intégrait d'abord par rapport ào:^ on aurait, par la formule (k) ,
Maintenant posons
t = -^ , dou ( -^ ) =^* + 2A,
dr= -de( 1+ . ) :
les limites de la nouvelle variable t , correspondant à j^=z:QO ,^zzzo, seront ^:=:-|-oo ^t=z — QO , et il viendra
Or, rintégrale qui subsiste dans le dernier membre de l'équation précédente est nulle pour b>o\ car, d'une part , le facteur qui multiplie er^^dt sous le signe/
INTÉGRALES DlÉFINIES SPÉCIALES. ^ 185
est nomériquement < i , en sorte que la portion de Tintégrale comprise entre les limites o, x) , a une valeur numérique, finie, <-îJ/1t; et cela posé, puisque tous les éléments de l'intégrale changent de signe avec ^, on a r* e-'^tdt ro e-ndt r* e-'^tdt ^
Donc, pour A>o,
/* * cos bxdx TC * / ,N
Jo 1+X^ 2 ^^
On doit remarquer cet artifice d'analyse qui consiste à évaluer une intégrale simple par la comparaison des deux résultats qu'on obtient en intervertissant dans une intégrale double l'ordre des intégrations.
Si l'on remplace dans l'équation (/) x par mx et h par
-, on aura
* cosbxdx w i , .
et en faisant maintenant m=o, on en conclura comme précédemment, pourvu que b ne soit pas nul,
COS bxdx = o.
Si l'on remplace dans l'équation (/) x par — et é par mb^ il viendra
cos bxdx TÇ .
o m^+x* 2Fn doù, en difierentiant par rapport à é, *'^xsin bxdx ic .
Dans le cas où le paramètre b serait négatif, la même analyse conduirait aux formules
x&in bxdx w ,
* CHAPITRE XI
DES INTEGRALES DÉFINIES , GONSIDiREES GOMME FONC- TIONS DE PARAMÈTRES VA.RIABLES. FONCTIONS
EULÉRIENNES.
