On peut poser

et la fonction F ainsi définie constitue une transcendante nouvelle si l'intégrale définie qui figure au premier nombre de l'équation ne peut pas s'exprimer algébriquementy ou par le moyen des transcendantes dont on a déjà des tables, soit pour des valeurs quelconques des limites ao, a^ , soit du moins pour les valeurs spéciales attribuées à ces limites. On peut toujours calculer numériquement, avec une approximation indéfinie [3^o], les valeurs de F^ pour chaque valeur de x, à moins que la fonction /{x^cl) ne passe par l'infini dans l'interyalie des limites de l'intégrïtle. On peut aussi soumettre la fonction F^ à la différentiation ou à l'intégration par rapport à x^ en différentiant ou en intégrant sous le signe J\ sans qu'il soit besoin d'effectuer rintégration relative à la variable auxiliaire a.

Les transcendantes dont il s'agit ici, supposées irréductibles, sont d'un ordre plus élevé que les intégrales

DES INTEGRALES A PARAMETBES VARIABLES. 187

supposées pareillement irréductibles. En effets le caractère essentiel de ces dernières transcendantes est d'avoir pour dérivées des fonctions /i qui s'expriment algébriquement, ou qui sont composées des transcendantes élémentaires dont on a des tables, tandis que la dérivée fx a une expression

de même nature que celle de la fonction dont elle dérive. Si la fonction F'x pouvait s'exprimer sans le secours du sigoe d'intégration définie, on devrait mettre l'expression de Fx sous la forme

Txdx,

et alors elle sortirait de la catégorie des transcendantes (i) pour rentrer dans celle des transcendantes (2).

Une fonction qui dépend de plusieurs quantités peut se ranger parmi des transcendantes de diverses catégories, selon que l'on prend pour variables telle ou telle des quantités qui entrent dans sa composition. Par exemple les fonctions elliptiques de première et de seconde espèce appartiennent à la catégorie des intégrales (2), si l'on y considère le module comme constant et la limite supérieure d'amplitude comme variable; et elles rentrent au contraire dans la catégorie des intégrales (i), si l'on y considère les limites d'amplitude comme toutes deux constantes, et le module comme une grandeur susceptible de varier sans discontinuité entre les limites o, 1 .

413. La fonction /pourrait passer par l'infini, dans l'intervalle des limites de l'intégrale, sans que la fonction Fx cessât d'être continue; et si, pour une certaine va-

leur de oL^fÇxyOL) passait brusquement d'une valeur finie à une autre, la fonction F.r n'éprouverait pas en général de solution de continuité. Ceci est une conséquence des premières notions de la théorie 'des quadratures, sur laquelle il n'est pas nécessaire d'insister.

Réciproquement , la fonction F peut éprouver des solutions de continuité pour des valeurs de x qui ne rendent pas discontinue la fonction /, Soit par exemple

J o a on aura pour les valeurs positives de x [407], Fj:=-î7c, et pour les valeurs négatives de la même variable, F,x= — -;7u. En conséquence, pour x = o^ la fonction Fx passera brusquement de la valeur -^tu à la valeur — ^7u, quoique cette valeur de a: ne rende pas discontinue

la fonction -. De même, si l'on posait

on aurait \l\^\\ Fx-=-\T:e'"^ ou Fa:= — k^^^j selon que la valeur de x serait réputée positive ou négative, et F.r éprouverait le même changement brusque dans sa valeur.

On en conclut que l'équation

a pour lieu géométrique le système de deux droites MN, M'N' [^fig. 91) parallèles à l'axe des .r, qui s'étendent à l'infini j l'une du côté des x positifs, l'autre du côté des X négatifs, et qui s'arrêtent brusquement aux points où elles rencontrent Taxe des^. A l'abscisse o cor-

DES INTiGRA.LES A PARAMÈTRES VARIABLES. 189

respond d'ailleurs la valeur^=o, c'est-à-dire là moyenne des ordonnées OM=^tc,OM'= — ^'n^. On reconnaît l'analogie de ces résultats avec ceux du n® 1 1 3, où la valeur de y se trouvait exprimée par une série infinie, au lieu qu'ici elle se trouve exprimée sous forme finie, par le moyen d'une intégrale définie.

Ceci fait comprendre comment les intégrales définies, où la variable entre comme paramètre, peuvent être propres à représenter des fonctions discontinuies , et comment le progrès naturel de l'analyse doit les amener, dans le traitement des questions qui supposent, comme condition essentielle, la discontinuité de certaines fonctions. L'emploi des intégrales définies offre alors cet avantage sur celui des séries, qu'on peut aisément faire sul)ir aux premières les combinaisons et les transformations analytiques, de manière à reporter à la fin des calculs l'opération de quadrature arithmétique dont le signe d'intégration définie est l'indice, ou à éluder cette opération, quand elle n'est pas essentiellement inhérente au problème.

414. On tirerait de l'équation (3), par des transformations convenables, d'autres formules appropriées à d'autres cas de discontinuité. Soit, par exemple, la fonction

/* ** sin a cos ou: , , ,.

Mo — ï — ^'- ^^^

on a

sin a cos ax = -^ [sin(i + .r)a -4- sin (i — •^)a], d'oii

îi/o a ijo a

Or, d'après ce qui a été prouvé, l'intégrale

se réduit à 7 ir pour x> — i,età — ^ikçowv x< — i; de même Tîntégrale

sin(. -x)»^

se réduit à Itt pour.r < i et à — ^ ir pouro: > i : il en résulte que la valeur de ^ est ^ 'tt quand x est compris entre -|- I et — I, et que /• devient nul quand la valeur de^ tombe hors de ces limités. Par conséquent, si. Ton prend OP=OP'= I {fig. 92) , PM =PM'= i-ir, le lieu de Téquation (4) sera formé de la portion de ligne droite MM' parallèle aux x^ et des lignes droites PX, P'X' limitées aux points P, P', mais indéfinies dans l'autre sens.

415. De semblables solutions de continuité ont lieu pour des intégrales dénnies qui se déduisent d'intégrales indéfinies dont on a la valeur algébrique. Considérons notamment la fonction de x exprimée par

~Jo vm

sinarfa ,^.

le radical devant rester positif dans toute l'étendue de l'intégration : on a

sin arfa i

Aux limites a=o, « — iz, le radical devient l/(i— j:^

V/(i4-d?)» ; et comme il doit toujours être pris positivement, nous en conclurons

d'où