DES INTÉGRALES A PARAMÈTRES VARIABLES

l/^(i — a;)» = ±(i — o?), selon que a: i, l/(i + xY = ±: (i + a:) , selon que x — i ;

ou

pour 07 > I , j = - ?

o:<i,>— I, 7=2, ^<— I, jz= — --

£n conséquence, le lieu de l'équation (5) est formé [fig. 93) de deux arcs MN, M'N' d'hyperboles équilatères, et d'une portion de ligne droite MM', parallèle à Taxe des x.

Dans ce cas, les solutions de continuité que la fonction

/éprouve pour j:= 1, x=z — i, ne sont que du second

ordre : sa dérivée

/*w sina(cosa — 07) ,

y=/ 7 ^ 5TT»a

Jo (i — 2o;cosa-f-o: )â

éprouve, pour les mêmes valeurs de .r, des solutions de continuité de premier ordre, en passant brusquement de la valeur — 2 à la valeur o, et de celle-ci à la valeur a.

Fonctions eulériennes.

416. Dans la catégorie des fonctions qui nous occupent rentrent notamment deux espèces remarquables de transcendantes auxquelles Legendre a imposé le nom ^intégrales eulériennes^ eti mémoire du grand géomètre qui en a étudié le premier les propriétés, et dont les immenses travaux ont donné tant d'e^t4îi>$ion à toutes les brancbes de l'analyse. Les transcendantes eulériena<}s de première espèce sont données par l'intégrale

/(i — ^-^fty-'àoL^ (a)

qui devient

quand on pose

i + P et nous les désignerons par le symbole {pc\f). Les transcendantes eulériennes de seconde espèce sont données par l'intégrale

qui se transforme en

lorsqu'on fait

et nous les désignerons, diaprés Legendre^ par le symbole rr. Il convient de considérer en premier lieu les transcendantes eulériennes de seconde espèce, qui sont les plus simples, puisqu'elles ne dépendent que d'une seule variable.