Changeons dans l'équation (^) ^ en ma : il

viendra

Tx

e-^a'-^da = (b)

o fn'

Écrivons dans cette dernière formule xJ^jr au lieu de Xj T -|- P au lieu de m : nous aurons

Multiplions les deux membres par p-^""'û?p, et intégrons par rapport à ^ entre les limites o, oo : il en résultera

Or, on a par la formule {b)

en sorte que le premier membre de l'équation (Ô) devient, après qu'on a effectué l'intégration par rapport

f '^*e-^ft*'^r'-^daL=iTxi e— a— 'da=r/.rj:.

,Donc l'équation (p) donne

Ts.Tr = Ti.+r).fJ.^t^^i (7)

FoircTioirs eulsribnubs. 195

et si l'on pose x-|-jr^== i, l'on aura

Tr.r{i-r)=T{i),J^^t.

ou bien, en changeant^ eu x^ et en remarquant que r( i ) se réduit à l'unité,

ra:.r(i-;c)=r*ti:f^,

ou enfin, d'après la formule (d) du n"" 4^6,

^ ^ sm ir:r ^ ^

Par cette dernière formule on calculera la table des valeurs de la fonction Tx entre les limites x=20^ ^=i} quand on aura la table des valeurs de la même fonction entre les limites x=if x=z i .

Pour x=-^j la formule (c) donn^

[r(7)]'=w, ou Ti{)=\/n; (c.)

mais on a

ce qui fournit une nouvelle démonstration de la formule (a) du n* 4o3.

419. D'après la définition de la fonction eulérienne de première espèce, l'équation (7) peut s'écrire ^

Cette formule fondamentale, due à £uler, et dont nous venons de reproduire la démonstration donnée par M. Poisson, ramène au calcul de la table de la fonction r.r, celui de la table à double entrée [i 16J qui donnerait les valeurs de la fonction {x\jr)j pour les valeurs positives des variables Xj/. On en conclut

ce qui résulte d'ailleurs directement de ce que l'intégrale

196, LIVRE V. GSAPITHE XI.

(a) ne change pas de valeur par le changement de a en I — a.

On en conclut encore

(^+%).r(ar4-r-f-«)n=r(^+^).rr,

z désignant une variable positive, aussi bien que x et/; et de là on tire

ou bien , en raison de ce que le second membre de l'équation précédente est une fonction symétrique des variables x^y^z^

{x + z]^). {x\z) = Cr + ^x) . {y\z).

De la combinaison des formules (c) et (é/), il résulte

^ ' ' simza:

Faisons dans rintégrale(a)^=j;,a=ï(i-|-<a): nous

aurons

et si l'on remplace maintenant iù par 1/ a, il viendra

(x\x) = / (i ' — ' a)*~'a *rfa= • ( x\- j •

En vertu des équations (d) et (Cg), cette dernière formule est identique avec la suivante

ilL.îM.

2"-» Tx On en conclut, pour un nombre entier ij

^/. I\ \/ï I.2.3...(ai-l) l/w ^K / ; ,N

\ nj a' 2'-M.2.3...(t-l) 2» ^

d'où

fiONGTIONS EULERIBnNBS; 197