On a identiquement
ou
Fintégrale double du second membre s'étendant à toutes les valeurs positives des variables Ç,» qui vérifient l'inégalité
Mais l'intégrale simple qui figure au premier membre de l'équation n'est autre chose que la fonction (a|p-|- i): donc, en vertu de la formule d'Euler, et sous la condition exprimée par l'inégalité (8),
Posons
il viendra, en conséquence de cette formule,
If"
ou biea
la double intégration devant s'étendre à toutes les var leurs positives de x,^ qui satisfont à l'inégalité
198 LITRE V. - CHAPITRE Xï.
Les constantes oLj^a^b^p^q sont supposées positives. Si, pour iSxer lés idées, et aussi pour prendre le cas susceptible de l'application la plus fréquente, on fait /7=^=a; on aura, ea étendant la double intégration à la totalité de Taire limitée sur le plan xjr par Tellipse
et en quadruplant pour cette raison la valeur du second membre de l'équation {e\
f/x^-'j^-^'djmfy = a«*P •
Cette formule reproduit l'expression connue de l'aire de l'ellipse, lorsqu'on prend a=p=i.
421. Soit maintenant un nombre n de variables x,^,2, etc., et désignons par /<"> une intégrale multiple d'ordre n : admettons que l'intégration multiple s'étende à toutes les valeurs positives de j?,^, z, etc., qui satisfont à l'inégalité
on aura
a^b^ci...
P9''"' 'rr.A-t^t^l.
if)
Cette formule bien remarquable, dans laquelle l'équation (e) rentre comme cas particulier, a été donnée par M. Dirichlet; et l'artifice ingénieux de calcul, qui lui
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FOKCTiONS EULÉatENVBS. 199
sert à l'établir.^ a l'avantage de s appliquer à beaucoup d'autres intégrales ('); cependant, nous préférerons le tour de démonstration suivant, employé par M. Liouville.
D'abord, au moyen d'un changement de variables, tel que celui qui a été pratiqué dans le n"^ précédent, on remplace la formule (/') qu'il s'agit de démontrer, par la formule plus simple
A'?-v--;.- . . .«*<■ . . =,(. ;;viK-V- -y *'
l'intégration multiple devant s'étendre à toutes les valeurs positives des nouvelles variables ^,7)9^9 etc. propres à vérifier l'inégalité
Ç+Ti-l-Ç+etc. <i.
Substituons pour un moment. à cette dernière condition la condition plus générale exprimée par l'inégalité
s+Yi+ç+etc. <e,
6 désignant une quantité positive quelconque ; et posons en premier lieu
il s'agira d'obtenir la valeur de l'intégrale V.
Soit
5=:(i.v, ^=:ix(i — v):
les limites de l'intégration, relativement aux nouvelles variables (i^v, seront respectivement 0,6; 0,1, et il viendra [364]
Posons maintenant
(') Voyez le Journal de mathématiques de M. Liou ville, tom. lY, pa^. 164 et 2a5.
rcFF^/'V^-'^^'^î
on pourra écrire
Mais l'intégrale double
A pour valeur, d'après ce qui précède^
donc
Enfin l'on a, toujours d'après le calcul précédent, en remettant pour 11, sa valeur^ et en désignant par p., une nouvelle variable,
par conséquent
Si Ton fait présentement 0=i, on tombe sur la formule (f), restreinte au cas de trois variables; et comme l'analyse dont on a fait usage s'étend visiblement, par un calcul de proche en proche, à un nombre quelconque de variables, il en résulte que la formule (<p), et par suite la formule ( /), se trouvent établies dans toute leur généralité.
422. Remplaçons dans la formule (é), x — i par n et a par x : elle deviendra
ce qui donne, pour le cas de n entier positif^
VOUfCTlOVS EULBRIENICES. 201
oH^ff^^dx =
' o wt"-'
ainsi qu'on pourrait le déduire de l'équation (a) du tf 3i3, en y changeant a en — m.
Posons dans la formule (g") //z=a-|-é|/i,a désignant une constante positive , et mettons pour l'exponentielle imaginaire sa valeur en sinus et en cosinus : la formule deviendra
ou bien, si l'on fait
û' + **=p-, ^=tangX,
a af€r-^{cos bx — V/^~ . sin bx)dx
= ^^^, [co»(/i 4- 1)^— 1/1=7. 8in(/i— i)X].
Celte dernière équation se décompose en deux autres
afe'"^cosbXnaxr=i-^ — -r — ^.cos(/i + ilX,
I x^d-^sin bx,ax=z ^ .^ ^.sin(n"f» ijX;
et dans l'hypothèse /2=o, celles-ci reproduisent les formules (/) du n* 407.
^CHAPITRE XII
DÉVELOPPEMENT DES FONCTIOMS EN SÉRIES TRIGONOMÉ- TRIQDES. THÉORÈME DE FOURIER.
423. Désignons par ^ une fonction périodique de .r, de la forme
/==A^sina:4- A, sina:r+ A3 sin3j:+. • . + AnSin/«r : (i) chaque coefficient A^ étant indépendant de x. Représentons par fx une autre fonction de x qui peut être mathématique ou empirique, continue ou sujette à des solutions de continuité d'un ordre quelconque : on demande de déterminer les n coefficients A,-, de telle sorte qu'on ait jz=zfx pour ces n valeurs particulières équidifférentes
ir 2^ 3ir 1VK . .
comprises, entre j;=o,^=iir. En d'autres termes, il fout [a I ] que la courbe représentée par l'équation ( i ) ait avec la courbe yz=fx^ n points communs , correspondant aux abscisses (2).
Appelons j, yj^jji ,.../, les ordonnées de ces points communs : on aura pour déterminer les coefficients A^
les n équations
ir ^ . 2W .., nu \ r,=sA,sm h-A.sm f-...+A„sm y
7,=A,sm — ; hA.sin— h.. .-+-A,sm — - — ? L^x
, . mz ^ . 2»ic . . n*ir
7„=AjSm — f-A,sm — h. . .-|-A„sm — - —
DÉVELOPPEMElfTS EN SÉRIES TRIGOlfOMÉTRIQUES. 203
Si on les ajoute, après les avoir multipliëes respectivement par
iiç aiTT . niiz , ,.
asm > asm ,...2sin y (4)
Imconiiue kff aura pour multiplicateur
asm — ; — .8111 h asm .sm h. .•
nîTz . ni'tç
. . . + a sin . sm >
c'est-à-dire la différence des deux sommes
(f — Aïc 2(1' — i\K n(i'—im ^ \ i-hco5^ — -^4-cos-^^ ^4-...+cos-^ ^==sS,,J
i+cos^ ^ -f-cos ^ ^- -f-...-hcos > ^ ==S,.\
Soit, plus généralement,
costt-+- cos(m +v) + cos(a + î^) . . .+ cos(a+ nif):=S : on trouve y par un calcul semblable à celui du n'' 4069 ^__^-~cos(k — t^)+co8a4-cos(a-t-nt^) — cos[M4-(/t-i-iy] 2(1 COSi^)
et pour M = o,
o if COS/lf' — cos(w+ iVl
2 L I — cos«? J
Si l'on fait maintenant
on aura
COS(/»4-iy=:±l, COSIlf' = d=COSf^,
selon que (izpijic sera un multiple pair ou impair de it: ainsi, dans l'un et dans l'autre cas il viendra
cos/if^=cosi^.cos(/i+ i)^, S=7[i — cos(n+ i)^'], «t par suite
S.=j[i — cos(*'— 1>], S.=^i— cos(i'+i>]. (S') Tant que l'indice H est différent de /, les nombres i' — i.
204 lilYRB V. — CHAPITRE XII.
/'-j-i sont pairs ou impairs en même temps; on a S, — tS,=o; de sorte qu'à Texception de A,, tous les coefficients A disparaissent de la somme des équations (3) , multipliées respectivement par les facteurs (4)-
Pour i =/ , on a , en vertu de la seconde équation (S') , S,=o; la première équation (S^ devient illusoire parce qu'on ne peut pas supposer l'angle (^ nul dans la valeur de S d'où cette équation a été déduite : mais dans ce cas la première équation (S) donne directement S, = w-j- 1 .
En conséquence de toutes ces remarques on a pour déterminer la valeur du coefficient A, l'équation
A,= -— — (/,sin— ; hr,sxn— h...-fr«sin — -— )i
et pour résoudre la question proposée il suffit d'attribuer successivement à / les valeurs i , » , 3 , . . , /i.
424. Plus le nombre n est grand , plus la courbe définie par l'équation (i) a de points communs avec la courbe yz=ifx^ dans l'intervalle des abscisses j;=:o, jr=w. Donc à la limite (/^=oo) les deux courbes coïncident pour tous les points compris entre ceux qui ont pour abscisses les valeurs précitées. Or, à cette limite, la somme qui exprime la valeur de A, se change en une intégrale définie; et si l'on fait
VK
il vient
'KJ o
et par conséquent
^ = - . 2 . sin ilr / sin jÇ .yÇrfÇ, (a)
le signe 2 indiquant que l'on attribue successivement à i toutes les valeurs entières positives, depuis l'unité in-
DÉVELOPPEMSrrrS en SJ^RIES TRIGONOlfiTRIQUES. 205
clusivement jusqu'à l'infini , et qu'on prend la somme de tous les termes ainsi obtenus.
La démonstration que nous venons de donner de la formule {a), appartient à Lagrange : elle se rattache à la tliéorie de l'interpolation , comme celle dont nous avons fait usage [98] pour établir la série de Taylor , et par suite celle de Maclaurin : et il convenait d'arriver par une même méthode à ces formules capitales pour le développement des fonctions en séries; mais il reste encore à prouver que la série exprimée par le second membre de l'équation (a) est toujours convergente ^ quelle que soit la fonction y^ sujette ou non à des solutions de continuité, pourvu seulement qu'elle ne devienne pas infinie entre les limites ^z=o,:i: = 7:. La méthode que nous suivrons pour établir en toute rigueur, et sans restrictions inutiles, cette proposition essentielle, nous fournira en même temps une nouvelle démonstration, et même, sous certains rapports, une démonstration plus directe de la formule (a).
