CHAPITRE IL

DE l'iNTIÎGRATIOW DES ÉQUATIONS DIFFERENTIELLES DES ORDRES SUPÉRIEURS^ ET EN PARTICULIER DE l'intégration DES EQUATIONS DIFFÉRENTIELLES LI- NÉAIRES.

S i^*". De rabaissement de l'ordre des ëquatioDS diffërentielles.

449. On ramène toujours aux quadratures l'Intégration des équations différentielles d'un ordre quelconque, de la forme

^.+.)=^«), ou ^=-f^'>i (i)

car on en tire

On a ensuite

et en continuant ainsi on obtient la valeur de^ exprimée en fonction dejr^"^ par une suite de quadratures. Il ne s'agit plus que d'éliminer jk^"^ entre la dernière équatioR obtenue et l'équation (2), pour avoir l'intégrale de l'équation ( I j, complétée par /i-j- 1 constantes arbitraires. Par exemple, l'équation du second ordre

EQUATIONS DES ORDBES SUPERIEURS. 235

donne d'abord

^^ eirf/ d'où \r = C---;^=. (3)

On a ensuite

et en éliminant y on tombe sur l'équation d'un cercle

(x-c)'+(r-co*=«*. (4)

Effectivement l'équation proposée exprime [190] que le rayon de courbure de la ligne plane dont x^j désignent les coordonnées courantes , est égal à la constante a,

Lorsqu^on pourra résoudre l'équation (a) par rapport à y^^ et en tirer

il viendra

j(«-0 ,=^fdxji{x, C)dx 4- C , X H- C , ; et en continuant ainsi, on obtiendra immédiatement, par anesuil;^ de quadratures , la valeur de^ en .r, renfermant/i-|-i constantes arbitraires.

Ainsi, de l'équation (3) l'on tirerait

OU

ce qui conduit encore à l'équation (4).

450. On ramène pareillement aux quadratures l'intégration de toute équation de la forme

/«-h.)=/j.(-), ou ^^ =//">; •

car on en tire .

et en intégrant

d'où

tk\dx J

ou

dyi")

»/;&<")«&<») + C li vient ensuite

et en continuant de la même manière on obtient la valeur de y en fonction de /("^ par une suite de quadratures. Il n'y a plus qu'à éliminer ^"^ entre la dernière équation obtenue et l'équation (5) : l'équation résultante est Tintégrate générale que l'on cherche.

Quand l'équation (5) peut se mettre sous la forme 7W=f(ar,C,C,), on obtient immédiatement , comme tout à l'heure, par des quadratures successives, la valeur de j en x, renfermant le nombre de coustantes arbitraires requis pour la généralité de l'intégrale.

L'équation

f=fy^ ou -^^fy^

que l'on rencontre fréquemment en mécanique, a donc pour intégrale complète

ordinairement, dans cette formule, la variable x désigne le temps.