JJ^+I

^■KS)-S-'g)]

I^a condition d'intégrabilité appliquée à la fonction

xf^x^)+y^x^) ' qui doit être une différentielle exacte quand les fonctions <p, 4* ^ont homogènes et du même degré, donne

^^d.^{x^) ^ d.(f{x^) ^d.^x^) ^ d4(x,jr) dx dj dx ^ dy

Donc cllaque membre de cette dernière équation a une valeur indépendante de la forme des fonctions ?,^, et si Ton prend ^ (a:,^)=x", il vient, conformément au théorème des fonctions homogènes [laa],

§ 4* Des équations supérieures du premier ordre.

446. Si l'équation (ï) renferme la dérivée^ élevée au carré ou à des puissances supérieures, on en tirera par là résolution algébrique d'autres équations

/ — fi(-^»7)=o, /— f,(:r,j)z=o, etc., en nombre égal à celui qui indique le degré de la proposée par rapport à^'. On les intégrera séparément, si c'est possible : et chaque intégrale ^ complétée par une

. constante arbitraire, satisfera à la proposée. Le produit de toutes ces intégrales satisfera donc de la manière la plus générale à l'équation différentielle proposée; ou, en d'autres termes, ce produit en sera l'intégrale générale. On pourrait désigner les constantes arbitraires qui entrent dans chaque facteur par des lettres différentes; mais on ne restreindra pas la généralité de l'intégrale en désignant toutes ces constantes arbitraires par la même lettre; puisque, si l'on attribue à cette lettre unique toutes les valeurs numériques possibles, on obtiendra évidemment toutes les intégrales particulières que chaque facteur de l'intégrale générale est susceptible de fournir. Par exemple, la résolution de l'équation

j'* — aa:z=zo donne

y — v/'«pc=o, y-i-\/^=o,

équations qui ont pour intégrales ^

c+jr — 7V/^=o, A4-7-f-TV^^=o.

En faisant le produit on a, pour l'intégrale générale de la proposée,

(c+7 — fi/5ï^)(£î,H-7+fV/^) = o; et l'on n'en diminuera pas la généralité si l'on posec,=i:, ce qui donne au produit la forme rationnelle

Il est visible, par la théorie de la composition des équations algébriques, que dans tous les cas l'intégrale générale sera rationnelle en a:,j^, lorsqu'on identifiera les constantes arbitraires qui entrent dans chaque facteur irrationnel, et lorsque la proposée sera elle-même rationnelle en Xj x-ij'

447. U y a possibilité dans certains cas d'éluder la résolution de l'équation proposée par rapport àj^'. Si,

par exemple, la variable y n'y entre pas, et qu elle soit réductible è la forme x-^fj/, on aura, en appliquant à la fonction dy"=zy'dx la règle de l'intégration par parties,

y—fx—fxdf + C=yjr'—/ffdf+C.

Lorsque la quadrature indiquée dans le dernier membre de cette équation pourra s'effectuer algébriquement, il n*y aura plus qu'à éliminer j^' entre cette équation et la proposée pour obtenir l'intégrale complétée par la constante arbitraire C. On traiterait d'une manière semblable

l'équation ^=:^', après avoir posé^'=—^, c'est-à-dire

après avoir pris^ pour variable indépendante.

448. Quand la proposée sera de la forme^=:y(j:^'), on en tirera

dx dy aor Cette dernière équation e£t du premier ordre par rapport aux variables x^f : en admettant qu'elle tombe dans la catégorie de celles qu'on sait intégrer, il suffira d'éliminer^' entre l'intégrale obtenue et la proposée, pour avoir l'intégrale même de la proposée. Par exemple, si celle-ci est. de la forme

on aura

,rfy' dx ©V' W

y=?/+(+'r-H^r)i^ ou -^œ^^=^.

et par suite \t\k^

On doit remarquer en particulier l'équation

d'où Ton tire par la difFérentiation

Od satisfait à Téquation (i4) eo posant

^ = o, dou y=^,

et la substitution de cette valeur de^^ dans l'équation (i3) donne pour intégrale générale

équation d'une ligne droite qui se déplace sur le plan xy quand on fait varier la constante arbitraire c.

On satisfait encore à l'équation (i4) en posant

et sil'on élimine^' entre les équations (i3) et (i6), on aune équation en x^jy qui satisfait à l'équation (i3), mais qui n'en est pas l'intégrale générale, puisqu'elle ne contient pas de constante arbitraire, et qui n'est pas non plus une intégrale particulière, puisqu'on tire de l'équation (16) une valeur de f en x, incompatible avec les valeurs ^'=c, tirées de l'intégrale générale. Cette équation résultante en x^j est donc une intégrale singulière delà proposée [i64].

11 faut remarquer que l'élimination de c entre l'équation(i5) et sa dérivée par rapport à c,

<|*'cH- jc = o, donne la même équation finale en x^y^ que l'élimination dey entre les équations (i3) et (i6) : ce qui doit être, puisque l'intégrale singulière représente [189] la courbe enveloppe de toutes les droites qu'on obtient en faisant varier sans discontinuité, dans Féquation (i5), le paramètre c..