Lorsque l'équation à intégrer est de la forme

j(«)=/j;, ou ^=/^,

on a, en intégrant n fois de suite par rapport à x, et en écrivant, pour simplifier, /^*) au lieu Ae ff^ f^^^ dixx lieu àeJJJ\ et ainsi de suite, y=f{^)fxdaf'r=fdxfda:...ffxdx + (ic«-'-f-C,a:«-»+ . . .

Mais, au moyen de l'intégration par parties, on remplace, dans le dernier membre de l'équation précédente, Tintégrale multiple par une suite d'intégrales -simples. £n effet, l'on a, en omettant d'abord les constantes,

f^*)fxdx * = fdxffxdx = xffxdx — ffx . xdx^

P)fxdx^ r=.fdxfi-)fxdx^ ^fxdxffxdx—fdxffx.xdx,

fxdxffxdx:=^x^ ffxdx—^ffx.x^dx, fdxffx,xdx=txffx,xdx — ffx.x^dx^ d'où

f^^)fxdx^ = (x^ffxdx — 2xffx.X€lx + ffx.x*(Lr).

On trouverait de même

f^^Yxdx^ = 5 {x^ffxdx—Za^ffx.xdx +• Zxffx.a^dx —ffx^dx),

d'où, par induction ,

f^'')fxdx^^=^ 5— p ? xT-^ffxdx ^^ ar-^ffxjtix

-h (^— 0(^— ^) af^iffa.x^dx. . .dz//x.a:--^dxl ou symboliquement

en convenant qu'après le développement on fera passer les puissances de Ç sous le signe J'y et qu'on remplacera ensuite ^ par x.

On démontre cette formule, comme celle du binôme, et comme toutes les formules analogues , en prouvant que- si elle est vérifiée pour une valeur particulière de rij elle subsiste pour la valeur consécutive n-^- 1.

Nous aurons donc, en rétablissant les constantes arbitraires que chaque intégration introduit, et en conservant, pour abréger, la notation symbolique employée ci-dessus,