JÉQUATIONS DES ORDRES SUPÉRIEURS

§ 2. Des facteurs propres à rendre întëgrables les ëquations diffëreutielles des ordres supérieurs.

453. On peut toujours concevoir qu'uue équation différentielle de Tordre n a ëté ramenée à la forme

D'un autre côté, si l'on représente par

Téquation d'ordre n — r dont «la proposée dérive, C désignant la constante arbitraire qui disparaît dans le passage de l'équation (8) à l'équation (7), la différentiation donnera

r^+--+rf;<;^/""'^+rf^^ (9)

dx'^dy^'

ou

rrfirf dvi . dvi ^ dvi j .1 dvi ^ , ,

En vertu de l'hypothèse, les équations (7) et (10) doivent être identiques : donc, réciproquement, si l'on multiplie Féqùation (7) par un certain facteur __ dri

qui ne peut dépendre, commç la fonction '^ elle-mêm^^ que des quantités ^,7,^',...:/^'*"'^ on rendra la proposée identique avec l'équation (9), c'est-à-dire qu'on rendra le premier membre de la proposée une difTérentielle exacte. II est d'ailleurs évident que, non-seulement le facteur [x, mais tous ceux, en nombre infini, qui se trouvent compris dans la formule (i.f('Ci), f désignant une fonction quelconque, jouissent aussi de la propriété de rendre le premier membre de l'équation (7) une différentielle exacte.

240 LiVRB VI. CHAPITRE II.

L'équation proposée étant du rC ordre, comporte n intégrales premières de l'ordre n — i [i64]; soit

une autre de ces intégrales premières : par la même raison que tout à l'heure on rend encore la proposée une différentielle exacte , en la multipliant par le facteur

ou plus généralement par un des facteurs, en nombre infini, compris dans la formule |i,,f,(xS,), f, désignant une autre fonction arbitraire.

Donc, plus généralement, si l'on désigne par ^ti^^xi^,) une fonction quelconque des deux quantités tj^tn^^, tous les facteurs compris dans la formule

ou

d/^-^y dx^ '^'^/(«-O' dvi, ' jouissent de la propriété de rendre le premier membre de la proposée une différentielle exacte, ce premier membre devenant alors la . différentielle de la fonction

Donc enfin, si l'on désigne par

les n intégrales premières de la proposée, et par 4» une fonction quelconque des quantités trf, xS,, ti,,....x;J,,, les facteurs propres à rendre la proposée une différentielle exacte, sont compris dans la formule générale dvi d<b ^ dvi, d^ . rfxS„, d^

dfy— 0 rfxj^rfj(«-0 dvi, ^âfjC»-") dvS,^r