Q — aM^'— (.1 — 2ai)a;y — a\— /» = o

et pour intégrale singulière du même ordre

jKi+^) + ^-(7 + ^)r'-/'=o. (i4)

En résolvant cette dernière équation par rapport kjr\ on la met sous la forme

d'où, eir intégrant,

V/jfiy 4- 4jc»+ x4 =zx{/i+x* — log(v/'7+x» — f)-|-c. (i6) L'équation (i6) satisfait à la proposée (i a); mais comme elle ne contient qu'une constante arbitraire c, et qu'elle ne peut pas rentrer dans l'intégrale générale (i 3) par un choix convenable des constantes a,, a,, elle constitue, encore une intégrale singulière de la proposée.

L'équation (i4j comporte elle-même une intégrale singulière^ qu'on trouverait en faisant usage des me* thodes indiquées ci-dessus, mais que l'on déterminera plus simplement en formant les équations ((L')), qui deviennent alors

7 ar* -4-. a«x =^j ^ + ^^2 = 0' Les valeurs de a^a, qu'on en déduit, étant reportées dans l'équation (i3), il vient

i6j -4- 4^^ -4- jT* =5 o ; et cette dernière équation satisfait visiblement aux équations (i4) ou (i5), mais non pas à la proposée (12).

486. L'équation (x) comprend en général les dérivées de^, jusqu'à ^"^ inclusivement; mais il peut arriver aussi que j^"^ disparaisse de la fonction <p, et alors cette même équation est une intégrale singulière de la proposée , de l'ordre n — i. Elle serait une iiitégrale singulière de l'ordre n — 2, si^"~'^ disparaissait également de la fonction <P^ et ainsi de suite.

292 LIVRE VI. GHàPITRE «V.

Soit^ par exemple, réquation du second ordre

{xjr— i) (oj'* — // 4- 2^JjT — ^7(7 + ^/)y* = ^y qui a, pour l'une de ses intégrales complètes du premier ordre, l'équation

77'"— 2a,^Xr'4-aî<P=o. (17)

On formera l'intégrale singulière de la proposée, en chassant a^ de Péquatîon (17), au moyen de sa dérivée prise par rapport à a,. Ce calcul donne

d'où les trois solutions

qui sont trois intégrales singulières de la proposée, la • première du premier ordre et les deux autres algébriques, ou de l'ordre zéro.

487. Les valeurs de jk^") en .^,7,^',. • • v?^^"~'^> 1"^ vérifient l'équation (A*),- et qui rendent infinie la dérivée

tirée de cette même équation (/r), sont des intégrales singulières de la proposée, de l'ordre /i, et toutes les intégrales singulières de l'ordre n doivent rendre infinie la dérivée (n). D'autres conditions sont encore exigées, si l'intégrale singulière s'abaisse accidentellement à un ordre inférieur : mais nous renverrons pour ces détails, qui sortent des éléments, aux Leçons de Lagrange sur le calcul des fonctions f et plus particulièrement encore à un mémoire de M. Poisson, inséré dans le 13** cahier du Journal de F École polytechnique.