Soit

F(*,7yy,---r^V)=o (K)

une intégrale première de l'équation de Tordre n^i

a désignant la constante arbitraire introduite par Fintégration : si Ton élimine a entre l'équation (K) et

S=o. . (KO

l'équation résultante

satisfera aussi à l'équation (^) et en sera une intégrale singulière, sauf le cas exceptionnel où la valeur de a tirée de l'équation (K) se réduirait à une constante, immédiatement ou en vertu de l'équation (x), ainsi qu'on l'a expliqué pour les équations du premier ordre.

L'équation (k) a n intégrales premières de l'ordre /?, que Ton peut représenter par

F„(^,/,/y,.../«),aJ = o.

Or, si l'on élimine respectivement les constantes arbitraires de chacune de ces intégrales, au moyen des équations dérivées

rfF, dF, rfF.

a^i cfa. da^ '

on retombera toujours sur la même intégrale singulière.

Pour fixer les idées, considérons une équation du second ordre

/(^,7,r'yO=o, (/)

dont l'intégrale complète soit

F(ar,7,a.,a.)==o, (L)

a.jU^ étant les constantes introduites par les deux intégrations successives.

Par la théorie générale, on aura les deux intégrales

du premier ordre, en éliminant alternativement a, et a, entre l'équation (L) et sa dérivée ^F dF ,

que, pour plus de commodité, nous représenterons par

Cette élimination donnera

F.(^>rvr>.) = o, F,(^,7y,a,) = o; puis on aura les intégrales singulières du premier ordre, en chassant a^ et a^ de chacune de ces équations , au moyen des suivantes

dF, dF, ,., .

Supposons que ce soit l'intégrale singulière donnée par F, que nous voulions obtenir : le calcul indiqué revient à éliminer a„ a^ entre les équations (L), ff ), et la dérivée de celle-ci

df di da^ ..,>

prise par rapport à a^ et a. , mais en considérant r/, comme une fonction de «,, implicitement déterminée ])ar l'équation (L). On a donc

da, dF ^ dF

da, da^^da^'*

ce qui change l'équation (f ') en

^.d(^dF.^ rp \

da^ da^ da, da^

Ainsi l'intégrale singulière cherchée résulte de l'éliminatioif de a, , a, entre les équations (L), (f ), (f,,,); et comme la dernière équation ne changerait pas par la permutation des indices , la proposition se trouve démontrée, l^

est facile d'étendre cette démonstration aux équations d'un ordre quelconque.

Soit, par exemple, l'équation du second ordre

qui a pour intégrale complète

y — aa.j + aî^r + a, ==o,

et pour ses deux intégrales du premier ordre

F.=^*— 2«y + a;=o, (lo)

F>=4^*(7-^/)"-4(a.— ^)(7-^/y-4-(aa-|^^)'=o.

Les équations (L',,,) deviennent

et 1 on a par l'élimination

La seconde équation comprend la première et n'a pas plus de généralité : car, si l'on égale à zéro le facteur J—x/^ on en tire une valeur de j^ qui ne satisfait pas à l'équation proposée du second ordre.

483. Le théorème du n^ 48 1 s'applique sans difficulté aux intégrales singulières des équations d'un ordre quelconque. Admettons que la proposée soit du second ordre et représentée par l'équation (/), en sorte qu'elle ait pour l'une de ses intégrales du premier ordre

F,(x,/y,.zO = o- (L.)

en chassant a au moyen de l'équation

qui donne

a, = xS(x^y,7")> on a l'équation du second ordre

F,(x,/,/,irf) = o, (trf)

identique avec la proposée (/), ou qui n'en diffère que par la présence d'un facteur commun, fonction de x,/, y\y\ D'un autre côté, en chassant a, de l'équation (L,)

par sa valeur tirée de ^-^ =o, on a l'intégrale singulière.

Or^ si l'on difierentie l'équation (x;$), en supprimant les

termes qui disparaissent en vertu de l'équation (L',)^ il

vient

rfF/rfcJ dv^ . dxi „ dxS j„\

et la démonstration s'achève comme dans le u** cité. On j en conclut de même que la valeur de^' en Xjj-, tirée de l'intégrale singulière, laquelle donne pour y une valeur qui vérifie la proposée, ne donne pas pour^, y,yj etc. des valeurs propres à vérifier les dérivées | successives de*la proposée.

Ea prenant pour J=Oy F,=o, les équations (9) et

(10), on a trf=p,d'où

équation qui se confondrait avec (9)^ si l'on en multipliait tous les termes par <--^. La difierentiation de

l'équation (11) donne

y xyY" X x^y'"

ou bien

La valeur de y tirée de l'équatioa

et substituée dans l'équation (i f ), ramène l'intégrale sin-

gulière ,r* — ^^'^=0. D'autre part, de l'équation du troisième ordre

on tire, en intégrant, -j- =ax; et cette valeur, substituée

dans l'équation (11), reproduit l'intégrale (10).

484. L'équation (x), qui est de l'ordre /^, comporte une intégrale générale de l'ordre n — i

et comme cette intégrale doit satisfaire, non-seulement à l'équation (x), mais à toutes ses dérivées, il en résulte que les valeurs de/("\jr^'*"'\ tirées de l'équation (^), coÎQcident avec celles qu'on tirerait de .l'équation (x): par conséquent l'équation (^) satisfait à la proposée (A*), aussi bien que (x).

Concevons maintenant que l'équation (x) ait une intégrale singulière

d'après la remarque du n^ précédent, on en tire pour j(«+0 une valeur qui ne coïncide pas avec celle que fournirait la dérivée de (x) : donc l'équation (^) qui satisfait comme intégrale singulière à l'équation (x), ne satisfait pas à la proposée (A*) dont (x) est déjà une intégrale singulière.

On prouve encore la même chose par le raisonnement suivant, que nous appliquerons^ pour plus de clarté, à l'équation du second ordre

Son intégrale singulière du premier ordre

résulte, comme on l'a dit, de l'élimination de a„a, entre T. II. 19

les équations (L), (f ) et (f 'i„). Soit ^ (xjj):=o une intégrale singulière de (\) : nous disons que cette intégrale ne diffère pas de l'équation qu'on obtiendrait en éliminant a,, a,, entre l'équation (L) et ses dérivées

dF dF ,,-«.

£n effet, l'équation ainsi obtenue satisfait au système des équations (L), (L'), (f 'i,,), et par conséquent vérifie 1 equation (>.) dont elle est l'intégrale singulière, attendu qu'elle ne contient pas de constante arbitraire.

Maintenant on sait que, pour obtenir l'équation (/), il faut éliminer a„ a, entre l'équation (L) et ses dérivées du premier et du second ordre, prises en traitant a^^a^ comme des constantes, savoir

dF dF , „.

rfT d'F , d'F , rfF „

Quand a^^a^ ne sont plus des constantes, mais des fonctions de Xjj', déterminées par les équations ((L)), l'équation (17) est encore satisfaite-; mais l'équation (L") ne l'est plus , et par suite l'équation (/) ne peut pas Têtre. 485. Prenons comme exemple l'équation

qui a pour intégrale seconde

jr — ia,a^—a^a:'^(a\ + ai) = o, (i3)

pour intégrales du premier ordre