Soit

une équation différentielle du premier ordre, à deux variables, qui devient

(0 y oyez le Journal de maûtématiques de M. Lionville, iom, I> pag. io6.

CONSTRUCTION DES EQUATIONS OIFFEAENTIELLES. 335

quand on la résout par rapport à y' . Pour chaque système de valeurs de x et de y^ cette équation détermine le rapport de la variation infiniment petite de ^ à la variation infiniment petite de x : elle détermine donc implicitement la différence finie des valeurs de /, correspondantes à deux valeurs de x séparées par un intervalle fini, lorsque dans l'intervalle cfy- ne cesse pas d'être une quantité infiniment petite, ou lorsque la fonction y n'éprouve pas de solution de continuité du premier ordre; ce qui a lieu quand la fonction y reste finie, et même dans certains cas, quoique la fonction^ passe par l'infini.

Désignons par Xq^'S. deux valeurs de x séparées par un intervalle fini; posons nikX = X — .r^, n désignant un nombre assez grand pour que la quantité Ao: puisse être considérée comme une quantité très-petite du premier ordre [45]; faisons

a:,==Xo + Ax, x^=x^ + aàa? ,0:3 = 0:0 + 3Aor , etc. ,

et désignons par/o^^i*^»» etc.;yojX> /^y «^^m ^^^ valeurs dej-^y qui répondent respectivement aux valeurs de a; désignées par x^, x^, x^, etc. Si l'on se donne arbitrairement la valeur ^q, on peut, avec l'équation (/), calculer approximativement, de proche en proche, la série des valeurs de la fonction j- entre les limites x = x^^ a: = X. En effet, cette équation donne

/• = /(^«i7o); et Ton a, en négligeant une quantité très-petite du second ordre,

r.=ro-+-yoA3:=ro + /(^o,7o)-Aa:.

Parla substitution de cette valeur de^, dans l'équation

336 UVRB VI. GHA.P1TRB VII.

on obtient la valeur de/,, afTectée d'une erreur qui ne peut être non plus, en général, qu'une quantité du second ordre; car, en général, la variation de la fonctionyest une quantité de même ordre que les variations des quantités x,jr dont elle dépend. On aura donc, aux quantités près du second ordre,

7a=7«+r'i^=7o+/(^o,7o) .^ +/(a?, ,rO . \x ,

et ainsi de suite. Comme n est, par hypothèse , un trèsgrand nombre , ou - une quantité de l'ordre de Aj;,

Terreur qui se commet , à chaque valeur de y que l'on détermine, étant répétée n fois, peut amener sur la valeur trouvée pour Y qui correspond à X, une erreur égale à une quantité très-petite du premier ordre, ou de l'ordre de Ajc, et qui sera négligeable si l'on a pris pour A.r une quantité suffisamment petite.

Ce raisonnement tombe en défaut lorsque les dérivées

dx ' dy sont susceptibles de devenir infinies, pour des valeurs de a: et de/ qui tombent respectivement entre x^^ etX, ^<, et Y ; car alors une variation très-petite du second ordre, attribuée à j; ou à^, peut faire varier la fonction /*de quantités du premier ordre: mais, dans ce cas même, si la fonction /ne devient pas infinie, on conçoit que la fonction^ passe, en vertu de l'équation (y), qui en règle les variations infinitésimales, par une succession de valeurs déterminées ; bien que la méthode d'approximation ne soit plus propre à donner, avec une précision suffisante, une série de valeurs séparées par des intervalles finis (').

(') Oo n'a guère océasîon de pratiquer ' le calcul d'approziiua-

CONSTRUCTIOJS^ DES lÈQUATIOMS DIFFEREITTIELLES. 337

On remarquera que le calcul arithmétique qui vient d'être indiqué, équivaut à construire la courbe dont l'ordonnée est la fonction jr^ en substituant à cette courbe un polygone qui s'en rapproche d'autant plus que la ligne Ao: a été choisie plus petite , et en se donnant en outre un point par lequel la courbe doit passer, et qui est un des sommets du polygone construit.

514. Quand la valeur de/', donnée par l'équation yj passe par l'infini, on peut renverser cette équation et écrire

en prenant^ pour variable indépendante. Si la fonction^ doit devenir infinie en même temps que^', l'équation différentielle, mise sous cette dernière forme, pourra servir à prolonger tant qu'on le voudra la branche de courbe m^/iifig. loa), sur laquelle on a pris le point ttIq pour point initial , et qui est située en deçà de l'asymptote PN, parallèle à l'axe des j-. On ne pourra continuer la construction de la courbe, de l'autre côté de PN, qu'en se donnant arbitrairement un autre point initial rn^j par lequel la branche m'^/i' sera assujettie à passer. Rien ne s'oppose à ce qu'on choisisse pour nif^ comme pour m^ un point quelconque, sous la seule condition que les valeurs de ses coordonnées ne rendent pas imaginaires les valeurs correspondantes de^ données par l'équation (/*).

tioo indiqué dans ce numéro, et par conséquent de désirer une expression rigoureuse des limites de Terreur commise. Cette expression a été donnée par M. Gauchy. On peut consulter là-dessus les ouvrages de cet habile analyste, et un mémoire de M. Biuet inséré dans le Journal de math,, de M. Liouville, tom. II, pag. 229. T. II. aa

Quand on peut exprimer analytiquement l'intégrale de l'équation (f\ la branche m^/i^ qui doit être associée à nif/iyse détermine ordinairement par la condition que la constante arbitraire ne change pas de valeur dans le passage d'une branche à l'autre; mais cette condition déterminante disparaît, lorsque l'équation dilTérentielle n'a pas d'intégrale susceptible de s'exprimer avec les signes de l'analyse.

La différence de deux valeui*s de ^, entre lesquelles a lieu le passage de la fonction j- par l'infini , ne peut plus exprimer la somme des accroissements infiniment petits que la fonction a reçus dans l'intervalle; et la dénomination d'intégrale ne s'appliquerait plus qu'improprement à l'équation en .r,/ qui satisfait à l'équation différentielle proposée, si l'on avait en vue la comparaison de ces valeurs. Soient pourtant x^^X. les valeurs de X entre lesquelles tombe celle qui rend j- infini, et j'-f^Y les valeurs correspondantes de^ : si l'on fait passer .r de la valeur Xq à la valeur X par une succession de valeurs imaginaires qui ne donnent point àjr des valeurs infinies, la différence Y — y^ exprimera de nouveau la somme des accroissements infiniment petits, réels ou imaginaires , reçus successivement par la fonction /^ dans le passage d'une valeur à l'autre [32 1]. I^ somme des parties imaginaires de ces accroissements devra être nulle, puisque, par hypothèse, les valeurs ^o^Y, et par conséquent leur différence Y — ^q, sont des quantités l'éelles.

515. Il y a lieu de soumettre à une discussion spéciale le cas oii l'équation différentielle serait de la forme

En effet , soit^^^ une valeur de^ qui fait évanouir 9/:

CONSTRUCTlOJy DES ÉQUATIONS DIFFÉRENTIFXLES. 339

si la valeur de la fonctioujr croît ou décroît sans discontinuité, de la valeur initiale jTo à la valeur t^^, au moment où / aura atteint cette valeur ^„, celle dey sera nulle; la valeur consécutive

se réduira donc à/„; de sorte que j^'yj^., sera encore une quantité nulle, et ainsi indéfiniment. Par conséquent la valeur de la fonction , après avoir été une quantité variable de^^ à^„, deviendra tout à coup une quantité constante.

Il faut bien considérer que la remarque faite ici ne porte pas seulement sur la construction arithmétique ou graphique au moyen de laquelle les valeurs consécutives d'une fonction se trouvent déterminées avec une approximation illimitée, en vertu de Téquation différentielle qui exprime la loi de ses variations infinitésimales, lors même que cette équation ne comporterait pas d'intégrale exprimable analytiquement. La remarque porte avant tout sur la génération même de la fonction, toutes les fois qu'elle passe effectivement et dans le sens propre par une succession de valeurs ; ce qui suppose que la variable indépendante x désigne le temps ou une quantité qui croit avec le temps.

516. Il s'agit de savoir dans quelles circonstances la fonction^ peut atteindre la valeur qui fait évanouir <p/, en partant d'une valeur initiale différente. Pour cela , considérons d'abord le cas où la fonction ^ {fc^j) se réduirait à une constante c, et où la fonction <p^ serait de la forme mj-^-n, m et n désignant des nombres constants. L'équation

/=c(/7ij-|- n)

a pour intégrale

•^09 J'o désignant les valeurs initiales des deux variables. La quantité mj-Q-^-^ ^st par hypothèse différente de zéro : il résulte donc de la forme de l'intégrale , que la quantité mjr^n ne peut devenir nulle pour aucune valeur finie de x; que seulement elle converge vers zéro quand la quantité mc{x — xj, supposée négative, prend des valeurs numériques de plus en plus grandes.

Passons au cas général , et admettons seulement que la fonction ç^ ne devienne pas infinie pour la valeur de / qui annule <p^. Soit % cette valeur : si la fonction j, en partant d'une valeur plus petite ou plus grande, peut croître ou décroître jusqu'au point d'atteindre h valeur yi , il sera permis de prendre pour y^ une valeur infiniment peu différente de yi , et alors <^y différera infiniment peu de (/ — Yi) <p'yi. Admettons, pour fixer les idées , qu'on ait /^ > y) , ç'yi > o : djr ne pourra pas devenir négatif pour des valeurs positives de dx, et par conséquent^ ne pourra point passer de la valeur /o à la valeur yi , si la fonction ^j; {xyj) ne prend dans l'intervalle des valeurs négatives. On exclut d'ailleurs le cas oii cette fonction passerait par l'infini ou deviendrait indéterminée. Soit donc — c la plus grande numériquement des valeurs négatives que la fonction ^ (^,J^) prend dans l'intervalle : on vient de voir, d'après la forme de l'intégrale que comporte l'équation djr=i—c {j—'ii). <pyi dx, (a)

que la différence^ — -n ne peut devenir nulle pour aucune valeur finie de ^; à plus forte raison il est impossible, quand la fonction j doit satisfaire à l'équation différentielle

CONSTRUCTION DES EQUATIONS DIFFÉRENTIELLES. 341 djr = ^{x,y). ^7 — 7, ) . <^\da: , . (3)

que la différence / — n s'évanouisse pour aucune valeur finie de x ; puisque , par hypothèse , la fonction ^j; {Xjj\ en la supposant même constamment négative, n'atteindrait jamais une valeur numérique égale à c, et qu'ainsi X décroît moins rapidement en vertu de l'équation (3) qu'en vertu de l'équation (2).

Si l'on supposait j^^ <y), ou <p'Yi <o, on démontrerait par un raisonnement semblable^ que y ne peut devenir égal à Yi pour aucune valeur finie de x.

Il ne reste donc plus que l'hypothèse où le coefficient ç'tj devient infini; ce qui arriverait, par exemple, si l'on supposait

k désignant un nombre compris entre o et i, ou bien encore

et alors l'équation ^=7) est une intégrale singulière de l'équation (i).

517. Nous avons admis que l'équation (F), résolue par rapport à jr\ ne donnait pour y' qu'une seule valeur réelle y (.r,^). Évidemment dans ce cas il n'y a pas d'intersection entre les lignes, en nombre infini, que l'on peut construire en vertu de l'équation (F), en se donnant arbitrairement un point de chaque ligne; puisque, si elles se coupaient,^' aurait, contre l'hypothèse, plusieurs valeurs correspondantes aux coordonnées x,j des points de rencontre. Ce principe ne souffre d'exception que si la valeur de / devient indéterminée pour certaines valeurs de x^y. Par exemple, l'équation diffé-

n'ï]{'\e\\ey='<^ appartient à une infinité de lignes droites

qui se coupent toutes à l'origine des coordonnées, point pour lequel la valeur de y se présente sous la forme t[<82].

Jjorsque l'équation (F) donne à y plusieurs valeurs distinctes ^zziif, (j:,j-),^=f, (a:,j"), etc., chacune de ces équations, prise séparément, peut se construire comme l'équation (/*), et donne naissance à un système formé d'une infinité de courbes ou de branches de courbes , particularisées par le choix du point initial.

Ainsi l'équation

équivaut aux deux suivantes

dont chacune peut être séparément construite.

Dans cet exemple, y prend une valeur imaginaire, toutes les fois que les variables x,j satisfont à l'inégalité

La courbe

limite donc sur le plan xj la région dans laquelle peuvent s'étendre les courbes caractérisées par l'équation [a). Les deux valeurs de^' deviennent égales pour les points situés sur la courbe (é); c'est-à-dire qu'elle est le lieu des points où se raccordent deux à deux les branches de courbes caractérisées respectivement par les équations {ci^)^(a^. Or ce raccordement peut avoir lieu de deux manières difTércntes.

CONSTRUCTION DES lÉQUATJONS DIFFjÉRENTIELLES. 343

£n géoéral y la tangente commune aux deux branches de courbes (<7,),(a,), pour les points situés sur la courbe {b)j diflere de la tangente à la courbe (b) en ces mêmes points. C'est ce qui arrive notamment dans l'exemple que nous avons choisi. La valeur de y tirée des équations (a,)y (a,)^ se réduit pour les points situés sur la courbe (è) à

tandis que la différentiation de l'équation {b) donne

dx p

dr et pour que cette valeur de ~- fût égale à celle précédemment trouvée pour^', il faudrait qu'on eût —— — —^^ ou p{p—x)—a:^=o,

relation inconciliable avec l'équation (è), excepté quand jr=o.

En pareil cas, les branches («,), (a,) se raccordent sur la courbe (b) en formant un rebroussement; et cette courbe limite est le lieu de tous les points de rebroussement des courbes auxquelles appartient l'équation différentielle («).