Passons à l'équation
rf^a , d^u
de ~^ do^'
à laquelle on satisfait par les valeurs particulières A C08 OLCU cos tL{x — $), B sin aat cos a(^ — Ç) ;
et admettons que , pour t^=.o , les fonctions w, -7- doivent se réduire respectivement à
/• / \ du ^ dFx f s
On satisfera à l'équation (8) et à la condition (9), en prenant
w = — / / cos (mt cos a(^ — Ç)yÇrfÇda ;
mais cette valeur de u donne ~-:=0, pour ^=0, et
dt
conséquemment ne satisfait pas à la condition (10). Au
contraire la valeur
I r* r^ sinaa^r r\ccjtA
d'où l'on tire
INTÉGRATION PAR, LES INTÉGRALES DEFINIES. 429 du I /•<» /••
di = -^J^^J^^ cosaatcost^x-md^da,
satisfait à Téquatioii (8) et à la condition (lo), mais non pas à la condition (9), puisqu'elle donne u=o pour /±=o* Donc l'on satisfera à la fois à la proposée et aux conditions (9), (10), en prenant
Il = — I / cos oiat cos (x{x -^ X)f^dcL
H / 1 cosafx — ÇjfçaÇoa.
aicfly— «»y — 00 a '
On sait que l'équation (8), qui est celle des cordes vibrantes et des ondes sonores dans un tuyau cylindrique, a une intégrale sous forme finie , dont l'intégrale précédente doit être une transformation. En effet , la première partie de la valeur de u peut être mise sous la forme
— / / [cosa(a7-h£i^ — Ç)+cosa(a: — at — Ç)]/Ç^dia,
et par le théorème de Fourier elle se réduit à \\J{^ + a£)+f{x—at)\ La seconde partie de la valeur de u devient par une transformation semblable
L'intégrale
/*• rsina(^ + g^ — 0 sina(^ — ^^~^^dst
se réduit [4i3] à ir ou à — ir, suivant qu'on a
et par suite t >o, ou au contraire
ce qui suppose t <o. Elle s'évanouit pour les valeurs
de Çqui tombent hors des limites ^=x — at, ^=zx^at, et qui donnent le même signe aux facteurs x-^-at — Ç, X — at — Ç. Donc Tintégrale (i i) a pour valeur
En réunissant les deux parties de la valeur de u, on retombe sur l'intégrale (12) du n® 556.
On trouve sans difficulté , pour Téquation
d'u , /rf'ii rf'tt d*u\
dr~^ V5^"*"^"*"^FJ
qui renferme les lois de la propagation des ondes dans
un milieu dont Télasticité est la même en tous sens, ou
dans un milieu non cristallisé, une intégrale de forme
analogue à celle de Téquation (8). Soient J* (j:, /, z),
f (Xy y, z) les fonctions auxquelles doivent se réduire u
du et ^pûur /=:o, et posons
/(Ç,7,,Ç) cos e^ + f(Ç,„,Ç)fî^^=e :
l'intégrale sera
Mais cette intégrale sextuple , dans laquelle il serait difficile de Hre l'expression des lois du phénomène, se transforme, comme M. Poisson Ta fait voir Q, en une intégrale double
4vo7o
air
o air
(') Nmufeau» mémoires de V Académie dés sciences y «6m. III.
INT]éGR4TIOir PAR LES IKT^GRA^LES DÉFINIES. 431
En général , la difficulté consiste à abaisser, autant que la nature du problème le comporte , l'ordre de l'intégrale multiple à laquelle conduit immédiatement l'application du théorème de Fourier; et cette réduction ne paraît point encore soumise à des règles générales.
