Considérons en dernier lieu l'équation

^■+-^^ = ^' qui se rapporte à la propagation des vibrations transversales d'une verge élastique, dont nous supposerons la longueur indéfinie de part et d'autre du centre de l'ébranlement primitif. On admet toujours que l'on doit

avoir u=fx et ^ =:fx pour l=o.

La proposée est satisfaite par la valeur particulière !£=: Acosa*flfcosa(ar — X) :

donc , un calcul entièrement semblable à ceux qui précèdent donnera pour l'intégrale complète :

w= — / / cos oL^atcos (x(a: — l)/l€Rdoi air y — coj — «0

^ :i; / / ?"''',/'5cos a(x — ï)nd^.

La première partie de la valeur de u se ramène à une intégrale définie simple; car, d'après la première équation (^) du n** 409, on a

/ cos d^at cos 0(0: — X^doL

et si l'on pose en conséquence

Ç=:ir+2toV/'i^, (12)

la première partie de la valeur de u prendra ta forme

432 LIVRE vu. CHAPITRE V.

-— r / , (sin (0*4- COS ^)f{x + %iù\/at)d^.

Donc, si la fonction ix est nulle, ou si les molécules de la verge élastique ont été écartées à l'origine de leurs positions d'équilibre, sans recevoir de vitesses initiales dans les plans perpendiculaires à l'axe de la verge, on aura simplement

u = y / (sin w*+ cos û>*)y(^ + 2a>V/'flf)rfû),

K aiT^ — co

formule remarquable par son analogie avec l'équation

Pour les plaques vibrantes, de même élasticité en tous sens^ l'équation des vibrations normales est d^u ^{à^u d^u d^u\

Admettons qu'à l'origine du temps la fonction e^ se ré-

du.

duise SL/*(x,y) et que la fonction — soit nulle : on exprimera la valeur de u par l'intégrale quadruple

tt==2^Jjf//cos(«»H-f><co8a(a:— Ç)co«p^

L'intégrale double

/jfcos(a'+p»)a^cosa(x — Ç)cosP(7 — Y,)£farfp

peut être obtenue ; car, si l'on effectue d'abord Fintégration relative à a , en employant les formules (y) du» n® 409, on trouve

[cos a?at oos ^'^at — sin a?at sin ^ai\ cos fx{^x — ^)</a

=y/ — • cosP'ûifsinr^-l-w' j — sinP^arsinT^ — co* J h

(d ayant la valeur donnée par l'équation (la). Ainsi l'intégrale ( i3) devient

V/ — -sinr-H- wM/ cosP'flf^cos P(j — vi)rfp

— y/ — .sinT-^-wM/ sinP*a^cost^(7 — >ï),rfp.

Mais, dans cette dernière expression, les intégrations relatives à ^ s'effectuent de la même manière, et si l'on pose

il vient pour la valeur de l'intégrale (i3)

j[sinQ+.')sinQ+.'-)-sinQ-.');inQ-.")]

= Jsin(a.'+.-).

Donc la valeur de u prend cette forme aussi simple qu'élégante ,

u = — 1 / sin (w> 4- « ») ,f{x 4- aw V^iî, y •{- ^tù \/7)d*ùdtd ,

T. Ji. a8