Nous avons trouvé [55 1] pour l'intégrale de

l'équation ^ ^

du d^u . X

di—d^' ^'^

la série

u=^9x 4- -.9 a: H .ç'^'j:-! 5 .©^o: -4- etc. : {2)

cette série à son tour est susceptible d'être sommée ou exprimée sous forme finie , par une intégrale définie. En effet, d'après les formules connues [4o3]

6— Vcd = V/^i, {a) I er-*^(ù^^'d(ù = o y {b)

a— *ci)«Vfo) = *'"""' ">^' ^ . v^, (c)

l'équation (2) prend la forme

^ r^.9'^x4-etc. \e-^diù

On aurait aussi

INTJÉGRATION PAR LES INTJÎ6RALES D^ÉFINIES. 421

et par conséquent ,

tky/'K J — 00 En mettant l'expression sous cette forme, on voit mieux qu'elle s'applique aux valeurs négatives de t comme aux valeurs positives : les termes affectés d'imaginarité, pour t négatif, se détruisant mutuellement sous le signe/*; et en effet rien n'empêche de donner à t des valeurs négatives dans la série (2) , d'où l'expression (S) est déri-' vée.

Celle-ci se tire encore très-simplement de la formule

car l'équation (a) donne, quand on y remplace o) par a> — al/7,

/•oo

d'oïl

-;= . / a— <** -f- aflû«V/ 'td<ù , (4)

^ti J — 00

et par suite

formule qui coïncide avec (3) lorsqu'on remplace, comme cela est permis,