L'équation
du ^ttu . .
qui se confond avec l'équation (3) quand on prend, pour plus de simplicité, 0=1, a lieu entre la température u de la section droite d'une barre cylindrique homogène, le temps t et l'abscisse x de cette section, comptée de l'une des extrémités de la barre. On désigne par a un coefficient qui dépend de la conductibilité de la barre et de sa capacité pour la chaleur, par /la longueur de la barre; et l'on prend pour zéro de l'échelle thermométrique la température (supposée constante) du milieu dans lequel elle est plongée. En conséquence il faut que , pour x=o et x=Jy on ait u=Oj quel que soit t. Il faut de plus que, pour ^±=0, u se réduise à une fonction Jx, arbitrairement donnée entre les limites x=o^ x=l, et qui exprime l'état initial des températures de la barre.
On satisfait à l'équation (24) par la série
a ==3 2. A sin ûurd~****'; (a5)
et si l'on prend, comme dans l'exemple précédent,
ac=:j, (q3)
on aura tenu compte des conditions qui se rapportent
414 LIVRE Vïî. CH4PITRK IV.
aux deux extrémités de la barre. Il suffira ensuite de faire
sin-y-./Ç4,
pour que la valeur de 1/, qui répond à /==:o, représente l'état initial des températures de la barre.
563. Dans les deux applications qui viennent d'être faites, on. peut considérer les valeurs du paramètre a, données par la formule (23), comme les racines, en nombre infini , de l'équation transcendante sin (th=o : en général on a pour déterminer la série infinie des valeurs de a une équation transcendante, mais de forme plus compliquée et telle qu'on n'en peut déterminer que par tâtonnements les racines consécutives.
Supposons les mêmes données que dans le problème précédent, si ce n'est que la fonction u, au lieu d'être constamment nulle pour x=:lj devra à cette limite, et pour toutes les valeurs de tj vérifier l'équation différentiel le
Ce nouveau problème se rapportç à la détermination (les températures d'une sphère homogène, plongée dans un milieu dont la température est constante, et primitivement échauffée de manière que tous les points à égale distance du centre aient la même température. La variable X désigne la distance d'un point au centre de la sphère; la fonction u est le produit de la température dn point dont il s'agit par la distance «r; /est le rayon de la sphère. La condition d'avoir w=:o, pour x==o^ quel que soit t^ résulte de ce que la température du centre ne peut pas devenir infinie [458]; et l'existence
mTÉGRATION PA.R LF.S SÉRIES. 415
du l'équation (26), dans laquelle h exprime un coefficient constant, est une conséquence de la déperdition de chaleur qui s'opère, par rayonnement et par contact, à la surface de la sphère.
La valeur de u sera toujours donnée par la formule (a5) : mais en vertu de l'équation (26), les paramètres a devront être les racines de l'équation transcendante
acosa/+ Asina/=o. (27)
Admettons qu'on ait calculé ces racines : il s'agit de déterminer les coefBcients A de manière que, pour ^=0^ // se réduise à une fonction^, assignée arbitrairement entre les limites .r=:o, x=d. Voici la méthode donnée par M. Poisson pour effectuer cette détermination, et pour démontrer en même temps que l'équation (27) ne comporte pas de racines imaginaires.
564. Multiplions par sin (Lcdx les deux membres de réquation (2/1), et intégrons entre les limites :r=o,;z;^==/: îl viendra
Jo ,/ * . d'à - , ^.
L'intégration par parties donne :
ri . d^u, [du . V ri du.
I sm ûtr -r- air = -T- sm «oî I — al cosotr -,-alr, Jo dûf \dx Jo Jo dx
I cos dx-j-dx-zz^X u cos tue \ +a I usm tixdx^ d'où
ri d'u rdu T fi
I sinctr-7--ctr= -=-sinûu?— oucosoj; —a"/ usinuxdx. /o dx* [dx Jo Jo
Pour x=Of on a 2^=0, sin aj;=o; pour x=ly on a, en vertu de l'équation (a6),
416 UVIE Tfl. -^ €H4FmR !▼.
du
^iiiiaj:«-«-«iiootcjrs= — ii(Aim«/+«cot«/),
quantité nulle à cause de rëquatUm (27). En ooiMé< quence Pëqualion (a8) se réduit à
-JZ-^ •"ff'u
«•inojMfcr,
et elle a pour intégrale
0 sin axdx =< Ct""^"^, o
C désignant la valeur dé
mcupdas, qui correspond à i==o, c'est-à-dire l'intégrale
^yor.sin
On aura donc, par rélimination de la constante Ç,
Si nous substituons, dans cette dernière équation la valeur de u en série, donnée par la formule (a5), il faudra, pour l'identité, qu'il ne reste dans le premier membre que le terme correspondant à la racine a employée dans le second membre. En conséquence, pour toute autre racine a', numériquement différente de a, on aura
/ sin ax sin a'xdx = o , (3o)
et l'équation (29) donnera simplement
a/ sin' ox^x s=3 / fx. sin cLzdXy ou bien, après la première intégration ipffectuée,
IHTiGRÀTIOK PAR LES SÉRIES. 417
sin OLxdx
2olI fx.sh A JUl^^
olI — sin olIcosolI
d'où
a I fx . sin — oT. J9
OLxdx
u=^vèZ. -^4 : — f F- sin oca?.«-**«% (3i)
a/ — sma/coso/
ce qui détermine complètement la valeur de u.
Il faut remarquer que, si a est une racine de l'équation (27), — a en est une autre; mais on ne donnerait pas plus de généralité à la solution en tenant compte des racines négatives, puisque la somme de deux termes
A, sin otr.é^*"'' -+- A, sin ( — ajr).tf-«*«''
équivaut à
(Aj — A,) sin aar.a-«*«''= A sin oar.d-****',
le paramètre a ne devant plus recevoir maintenant que des valeurs positives.
565. Au moyen de l'équation (3o) on prouve, comme nous l'avons annoncé, que l'équation (27) n'admet point de racines imaginaires. Soit en effet a=[ji.-|-v l/^HT une racine imaginaire de Téquation (27) : celle-ci aura une autre racine imaginaire conjuguée a=(x. — v^/HT; et l'équation (3o) deviendra, après les transformations ordinaires ,
\ f [sin*fiar(tf« + tf-*')"-hcos"fxa:(tf*— tf-^*)']flfcc=o,
équation impossible^ puisque tous les éléments de l'intégrale qui en constitue le premier membre sont essentieUement positifs.
On trouve en effectuant l'intégration :
418 uvEi vu. -^ CBàrmM iw:
• ^ j sin(a — «0^ mï(a + a')l
sin OLX sin tixdx^=s^i^ .^^^g. ^ — j -^
o a(a — or) a(a + aQ
a'tina/oo8a7 — asinoe'/oosa/ » ,
= — ^ — ^zz^ii • n
Comme a, et' désignent des racines de Téquation (27), le numérateur de cette dernière fraction est nul ; et l'on vérifie ainsi l'équation (3o), déjà démontrée par un raisonnement indépendant de la forme particulière de la fonction soumise au signeyi
Pour a'=3«, le dernier membre de l'équation (3a) se présente sous la forme l^ et sa vraie valeur, trouvée par la méthode <»dinaire, est
a/ — sinoc/cosa/ Zi '
comme on Ta obtenue en calculant directement i'intégraley^' sin *fltriir.
566. Faisons dans l'équation (3 1 ), £=30 : la fonction u devra se réduire ^fx entre les limites jg. o^x^ssl^ étVmi aura, en remplaçant pour plus de netteté sous le signa d'intégration la variable x par une variable auxiliaire ^j
a/ /Ç.sinotÇrfÇ
fa:=p 22 . -^ : 1 >• sm ax.
•' tu — sinalcosal
Ce sera une nouvelle formule de développement de la fonction fxj analogue à celles du chapitre XEL du cinquième livre, et aussi rigoureusement démontrée, quoique d'une manière indirecte. Les formules de cette espèce peuvent être indéfiniment multipliées comme les équations linéaires aux différences partielles auxquelles elles correspondent; mais elles ne peuvent être employées avec sécurité qu'après qu'on a établi rigoureusement la convergence des séries qu'elles engendrent.
567. S'il y avait trois variables indépendaates x^y^t dans l'équation aux différences partielles y linéaires et à coefficients constants, ou pourrait prendre pour intégrale particulière
et l'on aurait entre a, ^^y une équation de condition
f(a,P,Y) = o, ou y = <p(a,P), qui laisserait deux de ces paramètres indéterminés. En conséquence on pourrait prendre pour intégrale générale
a = 2;2.C««'+ftH-'?(«.P),
le double signe 2^ indiquant qu'il faut combiner successivement toutes les valeurs possibles de a avec toutes les valeurs possibles de ^. La valeur précédente de u subirait des transformations analogues à celles qui ont été exposées dans le courant de ce chapitre, à propos du développement des fonctions de deux variables. Mais en général de tels développements, quand le nombi*e des variables indépendantes surpasse deux, sont inapplicables à cause de leur prolixité. Il faut substituer alors à l'emploi des séries infinies celui des intégrales définies, et cettq substitution sera l'objet du chapitre suivant.
