L'équation -— -=: u a pour intégrale complète
lO (i-î*)' (1.2. 3)'
^ I i.a ^ i,2.3 •+-4'.^ + ~4»^+— •^'s^H 5-4*4^ -f- etc.
Désignons par <p^, ^ fies dérivées des fonctions «p^, ^i^: on aura
^'Z =» 5— -T: N 1 (^ — w)'-'^û)cfc).
En effet , l'intégration par parties, répétée i fois, donne
f{x — <oy-'cpO)rfû)=z:(j: — û))'-'<pj<i)-f-(« •— l) (x — û))*"*©,©
-{-(Z — iX^ — 2)(x — (»)y-^(P3(o+...+ («— 1)(«— 2)...3.2.I(p,«; à la limite û)=:o, toutes les fonctions <p, w s'évanouissent en vertu de la définition; à la limite ct)=^, tous les termes du second membre qui ont x — w pour facteur s'évanouissent aussi, et l'on trouve pour ^iX la valeur écrite plus haut. Le même calcul s'applique à la fonction ^it.
Il viendra , en conséquence de cette transformation ,
« = A(i + ^ + ^^-^ + ^^-^-3y, + etc.)
En désignant toujours par i un nombre entier positif, on a [4o4]
IlTTÉGRATIOir PÀB LES INTiGRALBS DEFmiES. 423
. . , 1 .3.5. . .fa» — i) ic 3in*'arfa = 5-^ - • - ?
ou
7 5 TT = 5 ; / sin»'owfa.
(l,2.0. . .*)* 1.2.0. . .2iy o
On peut donc mettre la première partie de la valeur de u sous la forme
TT
-AI ( iH sm*a-4 5— rsm*a4- etc. laa
Pour les deux autres parties de la valeur de w, dont la composition est analogue , il sera plus simple de changer les exponentielles en cosinus , et l'on aura définitivement :
e« ^irf . «in* « -f. ^— a V/ 5. •in" aVfa
-4-- / / * cos(2 !//(« -, X) sin*a)flfa | ^pwfifc)
+ -/ / *cos(2V^;r(«-0sin*a)daji|w*A).
Nous tombons ici sur des intégrales définies doubles, tandis que nous avions obtenu l'intégrale de l'équation (i), exprimée par une intégrale définie simple.
570. Afin de donner un exemple de l'intégration des équations linéaires à coefficients variables, prenons l'équation
du d^u ku .^v
di~d^~'^' ^ ^
qui admet pour intégrale particulière wzrzjre/^^ pourvu qne^ déf igné une fonction de la seule variable x, assu-
424 LlvaE VII. . — CHAPITBE V.
jettie à vérifier l'équatioa différentielle
L'intégrale de cette dernière équation renfermera deux constantes arbitraires A, B ; et l'on peut prendre pour inti^grale complète de l'équation (5), u=S. j-e", la somme s'étendant à toutes les valeurs possibles des constantes A,B,a.
Pour la commodité du calcul , remplaçons a. par a et k par m {m. — i ) : l'intégrale complète de l'équation (6) ser^, d'après la formule (17) du n°47'T j- = Aj;-/"B"™-sin'--'«<Aù + Bj'— / "fi'«*'sin'~»wAi.
Substituons cette valeur Aey dans l'équatiqn u — S.^g''', l't remplaçoDS-y ensuite e^' par sa valeur tirée de l'équation (4), en accentuant les u qui entrent dans cette dernière équation, pour éviter de les confondre avec ceux qui entrent dans l'expression de ^ : il viendra
m=~jr j r*p:. A«^— ^-'v^]«^-■*am— »A»'A ■+.-Aj?'-"/ / "rS.Bi!^-«-+'V?l«--'sin— —iw^ù)'^;
V'n J-mJo ^
et si l'on pose
on aura plus simplement
(■--ijr"/ / f^x vos m + 3t\y€~'' sin""'' tdm'dtt
-i- r'""/ / ^jrcos«t+»"VT«—'sin— "■•**#'4*fc D'aill«un M. ft>ittO» «, jJMOtré ('' que. notu^istuit
la présence des deux signes de fonction <p , ^ , l'intégrale ne dépend que de la fonction arbitraire de Xj qui représente la valeur de u pour ^=o.
571. Les artifices de calcul à l'aide desquels on vient dexprimer par des intégrales définies les intégrales complètes de diverses équations aux différences partielles, ne procèdent point d'une méthode uniforme: on peut recourir, comme Fourier l'a fait le premier, à d'autres considérations qui se rattachent plus étroitement à la propriété fondamentale des équations linéaires.
Prenons encore pour exemple l'équation
du d^u
'di dx^^
à laquelle on satisfait par la valeur particulière
u = ker"^*' cos a(^ — Ç) ,
A, a, ^ désignant des paramètres indéterminés. Au lieu d'attribuer à ces paramètres des valeurs séparées par des intervalles finis, rien n'empêche de supposer qu'ils passent sans discontinuité par une infinité de valeurs; et même on peut établir entre les paramètres A, Ç une dépendance arbitraire
A=-cJ($),
qui, loin de restreindre la généralité de la solution, lui donnera au contraire la généralité requise par l'introduction d'un signe de fonction arbitraire dont on pourra disposer selon les exigences du problème. On doit re* marquer l'analogie de cet artifice avec celui dont Lagrange et Monge se sont servis pour tirer d'une intégrale particulière, mais pourvue de constantes arbitraires en nombre suffisant, le système d'équations propre à
426 LIVRE Vïï. CHAPITRE V.
représenter l'intégrale générale, en vertu des fonctions arbitraires qu'il renferme [5a 5 et 534].
Ainsi l'on satisfera à la proposée , à cause de sa forme linéaire, eu prenant
u ==^g-«*' cos ol{x — Ç).î;<(0^^a> quelles que soient la fonction trf et les limites des intégrations. Admettons de plus que la fonction u doive se réduire à <p.r pour ;=o : d'après la formule de Fourier [435], il suffira de prendre
en assignant aux intégrales, pour limites supérieures -|-QO , pour limites inférieures — oo; et Ton aura en conséquence
w = — / / <?-**' cos a(:r — Ç)cpÇfl^«fa. (7) 27ry — «y — c»
Nous avons déjà obtenu la valeur de m, exprimée, par une intégrale définie simple : pour retrouver cette valeur, il n'y a qu'à effectuer, dans la formule précédente, Tintégralion indiquée par rapport à a. On a en effet, d'après la formule (X) du n° \^o^
^~^*' cos a(.r — $Wa = — =. e 4»
et il ne s'agit plus que de changer sous le signe la variable auxiliaire en posant
^^ — "*• » = ftD', ou $ = x4-acDi/'f,
pour retomber sur il formule (3).
Si Tou Vf I proposée , l'équation
INTiGRATIOIf PAR LES INTEGRALES DEFINIES. 427
du ^d^U
il faudrait évidemment changer dans les formules (7) et [3), t en a^ty ce qui donnerait
i£ = — / / e-«***' cos (x{x — Ç)cpÇ^rfa ,
572. Les équations précédentes expriment les lois de la transmission de la chaleur dans une barre cylindrique j à section droite infiniment petite , indéfiniment étendue dans le sens de sa longueur ; lorsque la déperdition de chaleur par rayonnement et par contact, à la surface latérale de la barre ^ est supposée nulle ou insensible. La barre étant considérée comme indéfiniment allongée,iIn'y a plus de conditions relatives aux valeurs extrêmes de x : ce qui distingue en général les problèmes pour lesquels on emploie les intégrales définies prises entre des limites infinies , de ceux pour la résolution desquels on développe l'intégrale en séries dont les termes sont donnés par la suite des racines d'une équation transcendante.
Soit maintenant l'équation à quatre variables indépendantes
du ^/"d^u d^ d^u\
'3i~^ \dbP'^ dy^ '^ dz^/
qui se rapporte à la propagation de la chaleur dans un solide homogène, illimité en tous sens, la fonction u devant se réduire à <p (^, j", z) pour ^=0 : si nous posons , dans la vue de simplifier récriture ,
la formule de Fourier, étendue aux fonctions de trois va-
428 I.1VBX Tll. — CHAPITBI T.
riables, donnera
-Mfiff'
a.eM«(«~0.cMKr-«).aaif(|l-0.«dUUuMl.
Par ane analyse telle que celle qui vient d'être employée, l'int^rale sextuple se réduit à une intégrale triple, «t l'on a
Les barres placées au-desius et au-desaom des ngnci d'înt^gnitioD, indiquent que toutes les int^rales aoat : prises entre les mêmes limites.
