Passons à l'équation
à laquelle on satisfait par les valeurs particulières Aoosaafcosa(« — Q, BsinaaCco8«(x — Q; et admettons que, pour ï:^Of les fimctions tf,-^ doivent se réduire respectivement à
, , , du ^ dFx . ,
On satisfera à l'équation (8) et à la condition (9), ai prenant
«=: — 1 / cosaarcosa(f — Qy^^#&;
= 0, pour i
=0, et
conséquemment ne satisfiùt pas à la condition (10). Au contraire la valeur
= 1 / cosojT — ËifEdcda,
INTiGRATIOir PAR LES INTEGRALES DÉFINIES. 429
rfu I /•«* /•*
-7- = — I I cosaa/cosa(x — IjBid^daj
satisfait ^ l'équation (8) et à la condition (lo), mais non pas à la condition (9), puisqu'elle donne u=o pour /==o* Donc l'on satisfera à la fois à la proposée et aux conditions (9), (10), en prenant
u= — / / cos cuit cos a(a? — l)f\dJ^daL
H — •^ I I cosa(dr — 5)f5rfÇrfa.
airay— 00^^00 a "^ ^
On sait que l'équation (8), qui est celle des cordes vibrantes et des ondes sonores dans un tuyau cylindrique, a une intégrale sous forme finie, dont l'intégrale précédente doit être une transformation. En effet , la première partie de la valeur de u peut être mise sous la forme
— / / [cosa(a:+at — Ç)-f-cosa(j: — at — 5)]/5^rfa, et par le théorème de Fourier elle se réduit à
La seconde partie de la valeur de u devient par une transformation semblable
j^f^ f^ rsina(^+^-S) ^^°^^-^-^)1f^rf^r,,) 4^^-^007—00 1 a a J ^ ^
L'intégrale
/•* Tsmoix+at — g) sina(x — ^^~0l>/)^
se r^uit [4i3] à w ou à — ir, suivant qu'on a
el par suite t > o , ou au contraire
ce c|iu supposer t < 0. Elle s'évanouit pour les valeurs
430 LIVRK VII. CHAPITRF, V.
deÇqui tombent hors des limites ^^x — at,X^X-\-al, et qui donnent le même signe aux facteurs x-^at — E,
r. — ut — Ç. Donc l'intégrale (ii) a pour valeur
En l'éunissant les deux parties de la valeur de u, on retombe sur l'intégrale (la) du n" 556.
On trouve sans difficulté, pour l'équation
qui renferme les lois de la propagation des ondes dans un milieu dont l'élasticité est la même en tous sens, ou dans un milieu non cristallisé, une intégrale de forme analogue à celle de l'équation (8). Soient y {■£, J, *)i f \.r, y, z) les fonctions auxquelles doivent se réduire a
du
et -j- pour t^o , et posons
/(E,ii,0 cos 6/ + f(S,„,ç)fî^ l'intégrale sera
Mus cette intégrale sextuple y dans laquelle il serait diffic3e de Hre l'expressioD des lois du phénomèoe, se transfome, «unme M. Poisson Fa &it voir ('), ta une iut^rale double
iirriGR^Tiorr par les nrxiGRALEs définies. 431
En gëoéral , la difficulté consiste à abaisser, autant que la nature du problème le comporte , Tordre de l'intégrale multiple à laquelle conduit immédiatement l'application du théorème de Fourier; et cette réduction ne paraît point encore soumise à des règles générales.
