Soit

j=jr(^ — Sa:){x'^^^x) \x — {m — i)tkx'\ :

il viendra

l^yz=:x{x — ^){x — nSx) ..... \x — {m — a)Aj;],/iiAa; ,

d'où il est facile de conclure

^*yz=ix{x — bkx){x-—iiùkx)

\x — {m — 3)Aj?]./w(/w — i)Aj?^ ,

et plus généralement

A*xz=a:(a: — Aj?) (x — aAj;) ....[a: — (m — * — i)ikx].m{m — i) ....

(m — i-^i) Hx* .

Il y a donc une analogie remarquable entre la formule qui donne la différentielle de la puissance a:"* j et celle qui donne la différence de la factorielle [A^^] composée de m facteurs, quand les facteurs consécutifs ont pour différence Âx, et quand ie premier facteur est x.

Si Ton posait

jrz=zx(x'hàx)(x-^%^) [a:-f(/w — i)Aj?] ,

oa trouverait de même

Aj'ï=:(j?-l- Ao:) (x+aA^) [a:'\-(m — i)Aa;] . /wAj? , (/)

et par suite

AJy:=(j:+«Aj7)[a;-t-(*4-i)Ax] . . . . [^4-(/7i — i)^].m(m — i). . . .

Soit en6n

x^pç+tkx) (or+aAo:) . , , . [x-^-im — i)tkx] *

456 LIVRB VIII. — CHAPITHE I.

que suivent les teimes successifs du développement de 2^ : nous reviendrons sur ce point , par des considérations plus générales, dans le chapitre suivant. On tire des formules (i), (j\ (A*), (/)

x {x + \x){â: + lààx) . . . . [x + {m — i)Aa:] j (x—^)a:{x+âkx). . . . [^+(/»— i)Ar] j H-xJ, (/i)

(/w-hi)Aar

-, . cos(ar-^^A.r) ,

asinlAo: . ,.

2cosa;= . — - il + tî*,

•2 sm ^ A^

XiJ désignant la constante ou la fonction périodique arbitraire.

591. Les formules du précédent n^ s'appliquent na- * turellement à la sommation des séries. Suivant la notation indiquée [585], désignons par SJ^ la somme des termes de la série dont le terme général est/,, cette somme comprenant les termes extrêmes ^,j, ,jri, de manière qu'on ait

S!, r. == 21 Xi + ii, ou S[ ïi = %^^ ri-

les formules {m) donneront d'abord

etc.

On sait que les séries des nombres figurés commencent par l'unité , comme |es précédentes , et ont pour termes généraux

on peut donc appliquer la formule (n) à la sommation de ces séries 9 et il vient

x/i x i . i{i+i)ii+^) ^(l+I)(^+2)(^+3)

etc. ;

en sorte que la somme de Fune quelconque de ces séries est le terme général de la série de l'ordre immédiatement supérieur : relation bien connue , et qui peut être prise pour la définition des nombres figurés.

Les séries réciproques qui ont pour termes généraux

se somment au moyen de la formule (p\ à l'exception de la première , pour laquelle la formule fait défaut ^ à cause d'un facteur qui s'évanouit au dénominateur. On trouve pour les autres

^"*"4"^ï^"^2o"*""" ' <i4-i)(/+2)""2~(*+iX^H-2) '

etc.

Si Ton fait /=qo , on a f , 7, etc., pour les sommes des séries prolongées à l'infini.