ttf'izrf^Sa — 2(A^2a

Le même calcul répété donnera

2 . ui^ = çltu — A^2*£i. -H 2 (A»(/2»tt,) , 2 . iif; = i;2a — Ai;2'tt, -h A V2'm, 2 (A V2^m3) ,

2 . tt^ = i/2ii — A(/2'ii, + A*m2^i/, < — A^2;2^a3 + etc. On peut écrire cette dernière équation sous la forme

2.«^ = f'2tt — A(;(2'«4-2«) +AV(23|«+22'iH-2ii)— A3^2<ii+323|H-32»i«-f.2ii)-4-etc.

Le développement s'arrêtera lorsque les différences de la fonction if, après un nombre suffisant de difTérentiations, deviendront constantes.

587. Admettons que^=:/â; soit une fonction entière et rationnelle de x : cette fonction se composera d'une somme de termes de la forme Aaf'j A désignant un nombre constant et m un nombre entier positif, de sorte que la différentiation des fonctions rationnelles entières se ramène à celle de la fonction jr=af.

Posons donc

jo = ^, J,=(^-+-Aj;)"*, etc. :

on amra, par la formule du binôme, en ordonnant suivant les puissances décroissantes de x,

AToSS A.«"==/iw^-'Aa:+^i^IIli^:rrm-2^»|-.. . (g)

452 LIVRE vin. CHAPITRE I.

et par suite, en ordonnant toujours de la même manière, A*jo = A* .af^:=.m{m — i) j;'*"'Aar* +

On trouverait de même

^.af^z=im{m — i)(/w — 2) a:'""' Aj::^ -h . . . .,

et généralement

^.af-=im{m — i){m — 2) {m — *+i)a:*-'Aa:'-|- ;

ce qui résulte d'ailleurs de ce que le rapport ' . doit

se réduire à \: , quand on fait à la limite Aj;=o.

* Donc on a

^.af^ z=zm{m — i)(m — 7) S.a.i.Ao:» , [h]

et comme cette différence est constante^ les différences des ordres supérieurs s'évanouissent.

D'un autre côté la formule {b) donne

A«. x^ = [x-^nSxY' — " [x+{n— 1 )A^]"*

+ ^^^~^J [a;+(« — i)ÙixY' — ±a^ .

Si nous développons et ordonnons le second membre selon les puissances de Ar, en posant, pour simplifier,

n(n — i)(n — 2) , il viendra

Mais on vient de voir que la moins haute puissance de HXy dans le développement de A^^'", est Ax"; donc la

DIFFinENGEt» FINIES. 453

fonction N» est identiquement nulle pour toutes les valeurs de / inférieures à n.

On a aussi, d'après la formule (Ji) ,

A*.a:*=n(n— i) (/i — a) S.a.i.Aj?" ;

et par conséquent