Proposons-nous d'appliquer la formule d'Euler

à l'évaluation de la somme des logarithmes des nombres

entiers, depuis i jusqu'à j; inclusivement : nous aurous

Ajb ^ I , y logxfia: = x log x — x + const. ,

En eonséqueace , ht formule (4) donnera log [i,a.3 a:)=C+ xlogx — x-\-~\ogx-\ — *-

Nous en déduirons, en remplaçant x par ax, log[i.a.3...(a3r — i)2;r]^C+aa:logaj:— aj;+-jogaJr •♦-■;■■'— Ift Mais on a identiquement

{.ï.3... (a;c — i) a^=r a'. 1.3.3.... ^.1,3,5... „.(xc-r 1)1

APPLICATION A La! FORMULE DE STIRLING. 47 1

et par conséquent ,

log ( 1.2.3 J!) + log [1.3.5 {2X — 1 )]

= G-|-^loga -ha^Iog^r — 2^? + - logaa:+ j- — etc.

En combinant^ par voie de soustraction, l'équation (]4) avec celle-ci, nous obtiendrons cette formule où n'entre plus la constante G,

log[i.3.5...(2^— i)]==f j?+^ Jloga+^logo:— cr-j-' + etc. (i5)

On a, d'autre part,

et en combinant ces équations avec les formules (14)^^ (i5), d'après les règles du calcul logarithmique, on trouvera sans difficulté

log »^^ ) # r/ r =2C — 2 log 2

3B, H h etc.

Maintenant, quand on fait converger x vers l'iniSni, le premier membre de l'équation , d'après le théorème

de Wallis [4o4]ï converge vers la limite log -, tandis

que le second membre se réduit, pour a;=QO , à 2 G — 2 log 2, d'où l'on conclut Gz=:log. I/Ôtc, et par suite

log(i.2.3 ^)===log V/' aïe + a: log ^ — ^ + 2^oga:

H — '—T-ri-^ r^ ô-i+etc. (16)

Faisons dans cette équation .r== 1000, multiplions par le module des tables [64] les termes non affectés du signe log,, afin que la somme se rapporte à des logarithmes tabulaires, et arrêtons la série au terme

472 UTRB YIU. , GHiLPITÙia.''

qui a pour coefficient B3 : nous trDavttvms log. yiilg.(i.a.3..;.iboo)= a567,6o46449SAi3a8 •••••— ,

valeur exacte jusqu'à là treizième décimale. Si Pou pre^ nait x=io, et qu'on poussât jusqu'au terme affecté, 4a coefficient 8.3^ on trouverait une valeur exacte jusqu'à la vingtième décimale (').

Ce calcul nous apprend que le nombre i.a.3 . . • 1000, exprimé dans notre système de numération , a i568 chiffres , dont les quatre premiers sur la gauche spnt 4oa3 ; de sorte qu'il se trouve compris entre

4oa4 . 10^ et 4o!i3 • 10^** .

Dans la théorie des chances, on a précisément à assigner les rapports de très-grands nombres qne les règles de l'analyse combinatoire donnent sous ferme de &otoriélles, et dont le calcul arithmétique aérait tout à frit impraticable. Or , pour assigner ces rapports avec une approximation suffisante, comparable à cdle cpieconH porte la détermination des ccmslantes empiriques, il suffit évidemment de déterminer pour chaque terme du. rapport, comme on vient de le faire pour la fkctorielle i.t2.3. . • 1000, la caractéristique de son logarithme et les premiers chiffres de la partie décimale.

599. Si ron faisait dans l'équation ( 1 4) •2r=i, on en tirerait

r— I ®'-i- ®3 ®* -L *' ®9 , P" ptp i.a 0.4 5.0 7.0 9.10 II. la

ou bien, par la substitution des valeurs trouvées [SpS] pour les nombres de Bernouiit,

(*) Voj'ez rîDtroduction placée en tête de Topuscule intitulé : Tabularutn ad faciliorem et hreviorem prohahiUtatis computationem Htilium enneas , ^^v Degen. Copenhague, 181 4*