Si l'on pose
Bai+, = 1.2.3 . . . . (a/H- 2) . A„+i ,
la suite des nombres B„-+i est celle des nombres de Bernoullij ainsi appelés parce que Jacques Bernoulli les a signalés le premier à l'attention des analystes. Cette suite de nombres revient souvent dans les développements en séries, et jouit de propriétés curieuses par rapport aux sommes des puissances , tant directes qu'inverses , des nombres naturels. Prenons , par exemple , f3c=af : l'équation (2) nous donnera
462 LIVRE vin. — CHAPITRE II.
(/»+i)A« Sk I
ce qui met en évidence ]a loi des formules (m) du n^
La suite
A, — A3 + A5 — A, + etc.
est convergente, mais la suite
B, — B34-B5 — B, + etc.
ne Test pas : les nombres B,,-^, croissant au delà de toute limite. Voici les valeurs des premiers termes de cette suite, exprimées en fractions ordinaires et déci*
maies :
Bi=^ =0,166666. . . ., Bg= -^ zzzOyOySjiy. . . . ,
B3=^-=o,o33333. . . .,B,,= — ^=o,253ii3. . . ., 00 " 2730
B5=— z=:0,023809 . . . . , Bx3= ^ =1,166666. . . • ,
B.z3:-^=o,o33333. .... B,5=:-^; — ^=7,0021 56. . . ., etc. 00 5 10
594. Admettons que l'intervalle X' — Xo soit un multiple exact de la différence \x : on tire de l'équation (2), en passant des intégrales indéfinies aux intégrales définies ,
—k,bJ(r'x—f''x:)-Y'K^{r^—r^o) - etc. (3)
I^ formule (2), communément attribuée à Euler, et désignée par le nom de ce géomètre, ou la formule (3) qui en est une transformation , comportent une double application, selon que l'intégrale //.rr/.^* est ou n'est pas
FORMULE d'eULBR. 463
susceptible de s'exprimer en fonction de x sous forme finie. Dans le premier cas, il arrivera le plus souvent que Tinlégrale 2*0 fa ^^ rentrant pas dans la catégorie de celles auxquelles s'appliquent les procédés d'intégration indiqués ci-dessus , on n'en pourrait obtenir la valeur exacte que par une sommation effective, opération laborieuse et souvent impraticable, si la différence x — Xo contient un très-grand nombre de fois la différence Ax. On regardera, dans ce cas, le terme
hp'^^
comme une valeur approchée de l'intégrale ^^faj et la correction qu'il faut apporter à cette valeur approchée sera donnée en série par la formule (3). Si , au contraire, on ne peut pas obtenir en fonction de x l'intégrale indéfinie j^J^, et qu'il s'agisse de calculer par approximation la valeur de l'intégrale définie
fxdx^
on partagera l'intervalle x — x^ en parties égales A^, assez petites pour que le produit
fournisse une valeur approchée de l'intégrale cherchée ;
de manière pourtant que la grandeur du nombre — - — -"
ne rende pas trop laborieuse la sommation arithmétique par laquelle on obtient ^^^ fx. La correction que doit subir cette valeur approchée sera encore donnée en série par l'équation (3) qui remplit ainsi le double office d'une formule de sommation et d'une formule de quadrature.
464 LIVRS TIII. ^— CHAPITBB II.
. Si nous substituons le signe S au âigne Z/siedon la notation conrenue [585] /nous aurons'^ au lien des fi»mules (a) et (3),
+AfiA«*./^a? — etc,, (4)
595. Toutefois» pour Intimer , en général, rcmjdM de ces séries qui ne sont pas toujours conirei^e&tn, il est indispensable de pouvoir assigner des limites à Porreur que Ton commet en arrêtant la sârie à. an terme de rang qudeonque [a5]. Or, IL Poisson a donné une inélhode par laquelle, en même temps qu'on ofcftiait la série d*Euler, on trouve Tcxpression en iniégnde définie du reste de la série, et par snilela fimile dn reste. L*importanoe du sujet nous &it une loi dlndiquer oe perfiM:tioniiement essentiel, apporté à une fiimnile Snidamentale de TanalTse.
Vdmeltons, pour la simplicité des calculs, que les limites des intégrales dans la formule dénier soient égales numériquement et de signes ocmtraireSy ce qu'on peut toujours obtenir en changeant Torigiiie de la variable « et reprenons la formule m du n* 4^
qui subsiste pour toutes les Taleurs de jc oom|Mises entre les limites des intésralesL Aux limites mêmes on â
!\\50«s .irz'î^r, rt viocuoas $uvx*eïï<»¥ement à j: les
FORMULE d'eULER. 465
in — I valeurs équidifïérentes
— (/* — i)Aa; , — (/» — 2)Aa75 .... — Ajc, o, Aj7,2Aa:, ....(/i — i)Aj7,
pour lesquelles l'équation (7) subsiste : en prenant la somme des valeurs correspondantes Aefxj et ajoutant la demi-somme des valeurs de/r, relatives à ^==±aj on a
Nous avons remplacé ^ par x sous les signes d'intégration j ce qui peut se faire maintenant sans équivoque^ et nous avons posé, pour abréger ,
itç 'AVK Zi'K (n — iVtt
»=:i-+-2COS h^COS h^COS h* • • .-i-2COS^^ ^— •
La quantité p se réduit à 2/2 — i toutes les fois que / est un multiple de in. On a d'ailleurs
fie . In — iVir
p cos — = p + COS VK — cos ^ — )
d'oïl l'on tirej9=:-— cos ^7^, pour toutes les autres valeurs
de /. Cela posé, on prendra la somme 2* en admettant
d'abord que cette valeur de/? ait lieu sans exception : on
fera ensuite ^=a^'/^, et l'on prendra une seconde somme
2* , relative à î ^ en faisant dans le cours de cette autre
sommation
pzzzm — I H- cos ai'wiu = 2/1 .
La série périodique , contenue sous le signe J\ sera la somme de ces deux séries partielles, et à cause de l'équation
ÎTzx Ma — x)
cos m cos -V— = cos — ^ ^ ,
nûkX a ^
on conclura de cette remarque
T. II. 3o
2VKX -. nc(*— or) . -,• %i'xx
En csanséqueacey l'équation (9) donne
ou bien, en vertu de Téquation (8),
Rien ne s'oppose maintenant à ce qu'on remplace l' pari, et à ce qu'on change l'origine de la vttriable j^ eu la forme de la fonction /, de manière que' les Knutes des intégrales soient quelconques. Ainsi , nous écrirons
—jfadx=^j y^^cos^—'^fxda:. (10)
Posons *
ï+^ + ^ + ^ïH^ + ^^c- =^(2wr A.»., ,(ii)
et prenons garde qu'aux limites de l'intégrale, pour lesquelles ia valeur de la variable x est supposée un mul« tiple exact de A^, on a
cos — r — = I , sm — r — z= o :
AJ7 me
le procédé de l'intégration par parties donnera
FORMULE d'eULER. 467
596. En rapprochant les équations (lo) et (la), nous retrouvons la formule d'Euler telle que la donne l'équation (3); et de plus nous obtenons en intégrale définie la valeur du reste négligé quand on arrête la série à un terme de rang quelconque. Les coefficients A, , A3, etc., définis par l'équation (i i), ne peuvent être autres que les coefficients donnés par les équations (A), ou par le développement de la fonction (a), suivant les puissances de a. Ainsi, l'équation (1 1) exprime une propriété trèsremarquable des coefficients A, ou des nombres de Bernoulli qui s'en déduisent.
A cause de l'équation (11) on a évidemment
tàiTça:
2< l^- ''^"-ÂF <-(^^)"''A»«-' •
Désignons de plus par >.„ la plus haute valeur numérique que puisse acquérir la fonction f^^^^jc entre les limites de l'intégrale : on aura, abstraction faite des signes^
S'il s'agit d'appliquer la formule d'Euler à une quadrature, on pourra toujours prendre A^ assez petit pour que la limite supérieure du reste R„ tombe au-dessous de toute grandeur donnée. Si la même formule est appliquée à l'évaluation d'une somme ou d'une intégrale aux différences finies, la différence ^x étant don-
468 UVAB VIII. CHAPITftE II.
née, il pourra se &ire cjue la valeut de R. n'aille pailB^ décroissant indéfiniment pour des valeurs indéfinimeat croissantes de l'indice n : ce qui 'n'empêchera pas' de fidre usage de la formule , quand la Kmite supérieure de R« , pour une valeur convenable de Tindice n , sera de r^Drdre des quantités négligeables.
Lorsque la fonction f^^^x conserve le même signe dans toute l'étendue de l'intégration, on a aussi, abstno tion faite du signe ,
eu
c'est-i-dire^ que le reste négligé est numériquement plut petit que le dernier terme. conservé.
La formule d'Enter se trouve en dé&ut quand les différentielles impaires de Jk s'évanouissent , bu, plus généralement, sont égales aux deiix liiAites de l'intégrale : le second membre de l'équation (lo) cesse alors de pouvoir se développer en série procédant suivant les puissances ascendantes de Aj;.
597. Ep général , lorsque la fonction^ conserve le même signe dans toute l'étendue de l'intégration, on peut prendre Ax assez petit pour que la valeur numérique du rapport
tombe au-dessous de toute grandeur assignée, à cause des changements de signe qu'éprouve le facteur àefxdx dans k première intégrale. Si, en outre, Ao: est une quantité négligeable comparativement à la distance X — Xq des limites des intégrales, il est permis de né-
FORMULE DEULER.
gliger, non-seulement la première intégrale (i3) vis-àvis de la seconde^ mais encore les termes ^v{jfx — \fa^ vis-à-vis de ^'c^^fxj et l'on a
de sorte que , relativement à nos moyens d'expérimentation et de mesure ; les choses se passent comme si un système de parties discontinues se transformait en un tout continu. C'est en vertu de ce principe que, s'il s'agit^ par exemple, d'évaluer l'attraction d'un corps sur un autre, on considère les deux corps comme des masses continues, en faisant abstraction des pores ou interstices dont l'existence est mise hors de doute par une foule de phénomènes, mais dont les dimensions sont inappréciables pour nous. On admet queja masse des particules groupées dans un espace de dimensions inappréciables, et qui pourtant peut contenir un grand nombre de particules , se trouve uniformément répartie dans tout cet espace; et l'erreur commise doit être, par rapport à la grandeur mesurée, du même ordre que les dimensions du volume élémentaire par rapport aux dimensions des corps observés ; c'e^-à-dire , que l'erreur est inappréciable par nos moyens de mesure.
Au contraire , lorsque la fonction Jx change de signe dans l'étendue de l'intégration, les deux termes du rapport (i3) peuvent avoir des grandeurs comparables, malgré la petitesse de Ao:. M. Poisson a tiré de cette remarque une explication ingénieuse de quelques-unes des lois auxquelles paraît soumise la constitution moléculaire des corps.
En exposant, au commencement de ce Traité, les principes du calcul infinitésimal, nous avions pour
tâche de faire bien comprendre comment l'oD est parti de la notion des variations discontinues pour adapter le calcul au\ variations continues qui se manifestent ou semblent se manifester dans la plupart des pliéuomènes naturels. Ce qui précède contient l'indicatiou d'un procédé inverse, par lequel on inti-oduit, pour la commodité du calcul, une continuité fictive dans des variations effectivement discontinues. Ce procédé Irouvc surtout son application à propos de l'évaluation da rapports de grands nombres, évaluation qui revient sans cesse dans la théorie des combinaisons et des chances, et pour laquelle on fait un usage continuel d'une formule due à Stirling, qui se déduit de celle d'Euler établie cidessus, comme nous allons le montrer dans le paragraphe suivant.
S a, Applicalion a U formule de Slirling.
