APPLICATION A LA FORMULE DE STIRLING

est moindre qu'une unité décimale du 4^ ordre. Ce calcul, où l'on met à profit la détermination exacte de la constante C , a donc , sur celui que nous avons indiqué, l'avantage d'atténuer la valeur assignée à la limite du reste négligé , quand on supprime dans la formule de Stirling tous les termes où entrent les nombres de fiernoulli. Mais, pour que cette suppression soit permise, il faut que x désigne un grand nombre , au moins de l'ordre des mille : au cas contraire , on arrive plus simplement, par les considérations que nous avons présentées, à une valeur de la limite du reste, dont la petitesse suffît dans toutes les applications.

§ 3. De rîDterpolation.

600. Nous avons eu plusieurs occasions de parler du problème de l'interpolation [ai], dont l'objet est d'assigner une fonction continue, susceptible d'une expression mathématique, laquelle prenne, pour certaines valeurs de la variable indépendante, des valeurs déterminées, qui sont celles d'une autre fonction , continue ou discontinue. Lorsque cette dernière fonction est continue, et que les valeurs entre lesquelles il s'agit d'interpoler sont suffisamment rapprochées les unes des autres, on admet que les deux fonctions se confondent sans erreur sensible dans l'intervalle de ces valeurs; par la raison que deux courbes se confondent sensiblement dans l'intervalle des points qui leur sont communs, lorsque les points communs se trouvent suffisamment rapprochés, et que ni l'une ni l'autre courbe n'éprouve de solution de continuité dans l'intervalle.

T^ problème de l'interpolation est évidemment indé-

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terminé de sa nature : sou» certains rapports il peut être considéré comme une application de la théorie mathématique des chances ; nous n'avons à ea traiter ici qu'en tant qu'il se rattache au calcul des diffânences finies.

Reprenons la formule des n^ 43 et 58ft

n. . nln — i).. n(n — lYn — a)., .

où / est une fonction de la variable x, donnée pour les valeurs x:=o, x:=tkXy x:=z%Kt,. • .x=^nà^. Posons iiAa:=j:,^,==/r,^. ==/*(o) : cette formule deviendra

Si la valeur ^^ ne correspondait pas à x=zo^ mais à x=a;o, il faudrait remplacer, dans le second membre de l'équation précédente , x par x — a?. ct/.(o) ptir/x^ Lorsque, dans la formule ( 1 7) dont l'analogie avec la série de Maclaurin est manifeste, on jhit ^.= 0, x=:^x, x=2Aj7, . . .x=n\Xy on retombe sur les valeur» jTo» Txtjxi^ • •Tni qui ont servi à former les différences A^^, A^oy • -A'/o : roais on peut admettre aussi que réquation (17) subsiste pour toutes les valeurs intermédiaires de Xy et alors cette équation remplit le but d'une formule d'interpolation. Rien ne s'oppose à ce qu'on la mette sous la forme

fx = Ao -4- k^x ■+■ A^' + k^ + etc. , (18)

Ao, Ax, Aa,. . . A„ désignant des constantes données. Il faut supposer que les différences A, A*, A®, etc., vont en diminuant, de ïnanière qu'on puisse s'arrêter aux différences de l'ordre /i, en négligeant celles des ordres supérieurs; et alors les formules (17) ou (18) ne contien-

DE l'interpolation. 477

nent qu'un nombre fini de termes; en sorte que la fonction^ se trouve remplacée par une fonction rationnelle et entière de x,

' 601. Si les différences des ordres supérieurs à l'ordre n étaient rigoureusement nulles , rien ne s'opposerait à ce qu'on prolongeât indéfiniment, en avant et en arrière du terme pris pour origine, la table des valeurs de/ir: soit qu'on employât à cet effet la formule (17); soit qu'on fît de proche en proche le calcul des différences des ordres inférieurs par de simples additions. On peut encore se permettre de prolonger la table , si les différences de l'ordre n sont seulement très-petites, en les traitant comme nulles : mais alors il est nécessaire d'avoir, au delà des limites primitives de la table, quelques valeurs connues àefxj servant de repères, et dont l'accord avec les valeurs calculées donne une garantie suffisante de l'exactitude des valeurs intermédiaires, aux: quantités près de l'ordre de celles qu'on a droit de négliger. Les limites entre lesquelles on aura été autorisé à prolonger la table, sont celles entre lesquelles on sera en droit d'employer l'équation (17), comme formule d'interpolation.

Lorsque les tables sont dressées pour des valeurs de la variable, tellement rapprochées qu'on puisse, dans une certaine étendue, considérer les différences du premier ordre comme constantes, et les différences des ordres supérieurs comme nulles, l'interpolation se réduit au calcul des parties proportionnelles, ainsi qu'on l'a déjà souvent expliqué.