Quand on applique la formule (3) au calcul

numérique de l'intégrale définie / fxdxy il peut

arri-

4TO UTWHfUL' ■.Ti^UwiBM It

Ter que la fonctiou /.t' ne soit donnée que par une table qui fournit seulement les moyens de calculer d'une ma- ' nière approcliée [44] l^s valeurs des dérivées /j;,/>, J"x, etc. Admettons que cette table donne les valeurs de/ir pour des valeurs équidifTérentes de x, l'intervalle des limites x — x„ étant toujours un multiple de Ax. employons comme quanlités auxiliaires une variables et une fonction

die sorte qu'on ait

(i-)(o)=/c)*-/c>j:. , ^■^(«)=^■fx— a-/x. ; (,9)

et supposons que la variable z prenne successivemeal les valeurs o,Aj;, air, 34.r, etc. : la formule (17) donnera, par le simple changement de/* en f et à&x en z,

' '' = 'W +lJi" '"^ + ^tE^ '^■'("^ + ""■ ■

. Si maintmant, conformément au principe de l'interpolation, on regarde cette formule comme subsistant pour des valeui's quelconques de 5, on pourra différenlier les deux membres comme des fonctions continues de 2; et en faisant ensuite z=o, on obtiendra 4j:r (o) = Af (o) — 1 A'f (o) + i A'f (o) — 1 A*f (o) -i- etc.,

Aj;'r'(o) = A=f(o) — |A4'(o)+etc., itc.

Remettons pour f (o), f "'(o), . . . ,Af(o), i'f(o), . . . leurs valeurs données par les équations (19), et substituons dans la formule (3) : il viendra

DE l'interpolation. 479

formule donnée par Làplàce dans la Mécanique céleste. Il faut supposer que la table des valeurs de ^ s'étend au delà de la limite supérieure de l'intégrale, pour cpi'elle détermine implicitement les différences ^fxy èkfx^ t?fa:^ etc., relatives à cette limite supérieure.

603. Le problème inverse de l'interpolation consiste à déterminer la valeur de x qui répond à une valeur donnée fx de la fonction f. Quand on emploie, comme formule d'interpolation, l'équation (17), la solution de ce problème revient à la résolution d'une équation algébrique de degré n^ ^*f(s^) étant la plus haute différence conseirvée dans la formule. Mais, au lieu de faire usage pour cette résolution des méthodes générales dont l'application est si pénible , on a recours à des approximations successives. Ainsi l'on posera

A^ y£--/(o) ~F^ A/(o) ' Yx étant une fonction de x qui a pour valeur

On prendra, pour une première valeur approchée de X,

pour seconde approximation

A^.A-/(o). . . Ax A-/(o) *'-R A/(o) ' P"" "='- FÇ. A/(o) '

et ainsi^de suite.

Le problème de l'interpolation comprend, comme cas particulier, celui de Vîntercalatioriy qui consiste à insérer, entre les valeurs données par une table, un nombre déterminé de valeurs intermédiaires. On sup-

480 LivRS.Yiif, — GHAPrrmB ii.

pose ordinairement que les tames inlercalës doÎTeot être ëquidistants, comme les termes de k table primitive.

604. Si la table ne donnait pas les valeurs de la fooo tion pour des valeurs ëquidifierentes* de la variable iadépendante, ainsi qu'on Ta supposé 'dans ee qui préoàde, il fiuidrait recourir à d'autres formules d'interpolation. Qn pourrait en donner dont là construction se rapporte au calcul des diflSérences finies ; mais il est pliu simple, et il suffit pour notre but, de poser directement avec Lagrange

/ =X^« H- X^r« + ^« + -•— • + ^'sf • • yfnJ'tiX%^ . • .^M désignant toujours ies valeurs èàmhe^ At la fonction jr^ qui correspondent ' attix tàkan x^j x^j x^y . • .x« de la variable :r ; «t X^ étant utte'feaotion de x^ qui se réduit à l'unité pour x:=:Xi et kwko pour xzzzxcy quand l'indice f a toute autre valeur que i Il est claii* qu'on satisfait à cette double craditûm, ca prenant

Y. (^— J?J {X—X^ {X—Xn) .

{Xi—X,){Xi—X^ {xt^Xn)

CD pourrait d'ailleurs y satisfaire d'une infinité d'autres manières, parce que le problème de l'interpolation est essentiellement indéterminé.

* CHAPITRE IIL

THÉORIE DES ÉQUATIONS AlUX DIFFERENCES FINIES , ENTRE DEUX VARIABLES DISCONTINUES.

§ I^**. lotëgration, entérines finis, des équations aux diiTërences

finies, à deux variables.

605. La théorie des équations aux différences fioies, sans être, à beaucoup près, aussi féconde que celle des équations différentielles en applications importantes, mérite pourtant d'être exposée avec quelque détail , même dans un traité élémentaire. La comparaison des deux théories manifeste des analogies et des contrastes qui jettent de la lumière sur Tune et sur l'autre, et qui font mieux ressortir les lois générales de l'analyse.

Nous ne traiterons avec quelque développement que des équations aux différences entre deux variables x et j^ et nous les envisagerons successivement sous deux points de vue : d'abord comme exprimant la loi de la série des valeurs de^, qui correspondent à une série de valeurs déterminées de a;; ensuite comme exprimant une propriétéde la fonction j qui croît, ainsi que la variable indépendante x, sans discontinuité.

On peut toujours supposer que l'intervalle dx des valeurs de la variable indépendante est constant, et prendre cet intervalle pour unité [583]. Si Sx n'était pas un nombre constant, mais une fonction de x seul, ou de X et de /, on pourrait regarder x et^ comme des

T. II. 3i

fonctions du nombre entier i, positif ou négatif, qui fixe le rang du terme Xi âans la série des Taleurs dex, et celui du terme correspondant^/ dans la série des valeurs de^. Les variables x ^\y seraient alors définies en fonction de l'indice i par deux équations aux difi^ rences, auxquelles on pourrait appliquer le procédé d'élimination indiqué au sujet des équations différentielles [i65], de manière à arriver à une équation finale d'où Tune des variables x^jTy et ses différences se troaveraient chassées. Dans cette équation finale , qui serait en général d'un ordre supérieur à celui de l'une ou de l'autre des équations proposées, la variable indépendante i varierait par intervalles constants, égaux-à runité.

Au reste, dans la plupart des problèmes auxqnek s'applique l'intégration des équations aux différences, en tant^u'elle a pour but d'exprimer le teiine général d'osé série, la loi de génération de la série, àxAt l'équation aux diflerences ^t la traduction , se trouve immédiatement exprimée au moyen de llndice qui remplit 'ainsi, sans qu'il soit besoin de transformation préalable, l'office de variable indépendante.

606. Une équation aux différences de l'ordre n^ dans laquelle la variable indépendante x a des incréments constants, égaux à l'unité, peut être représentée généralement par

F(jrjy,A/,A*7, A"7)=o ; ou par '^{x\;r^,^^ •7n)=o ,

si l'on exprime les différences successives en fonction des valeurs consécutives de y [58ii]. En conséquence ou tire d'une équation du premier ordre, ^, exprimé par le moyeu de^; d'une équation du second .ordre, y^ exprimé au moyen de y^ et de^; et généralement une

ÉQUATIONS AUX DlFFÉllENCE^ FINIES. 483

équation du if ordre fait connaître la valeur numérique d'un terme de la série, au moyen des valeurs des n termes précédents. Réciproquement, l'intégrale de l'équation aux difTérences, ou l'expression analytique du terme général de la série engendrée , doit contenir autant de constantes arbitraires qu'il y a d'unités dans l'exposant n de l'ordre de l'équation : la détermination de ces n constantes devant équivaloir à la détermination des n termes qu'il faut se donner arbitrairement , pour pouvoir construire numériquement la série au moyen de l'équation proposée. Ces remarques sont tellement analogues à celles qui se présentent dans la théorie des équations différentielles, qu'il suffit de les indiquer ici , sauf à en développer bientôt certaines conséquences, après que nous aurons examiné quelques cas oîi les équations aux différences comportent une intégration proprement dite : en ce sens qu'on peut exprimer analytiquement le terme général de la série correspondante, avec des constantes arbitraires en nombre égal à celui qui marque l'ordre de Téquation.

607. Considérons d'abord l'équation générale du premier degré et du premier ordre

Ay- -4- yfx -=. ïx ,

on posera, comme au n** (\[\o^ j-=^^t^ ce qui donnera

eA^+ f Aô -h A6 ; Ar -f- ^t.fx=:ix.

En raison de l'indétermination des fonctions 0 , ^> cette équation est susceptible de se décomposer dans les deux suivantes

ôAf -f- AÔ. A^= £r , AÔ -^ ^fx = o .

Pour faciliter l'intégration de la seconde, faisons 6=^* : il viendra [SSg]

484 LivBE VIII. — CHAPiTas iir.

d^oîi

e^=i—fx, A«=log(i— /a?),js±=2.Iog(i— /jf),

et enfin

en désignant par Yx ie produit de foutes les valeurt que prend la fonction i—fx entre les limites de l'intëgrale 2. Cette fonction F ainsi déterminée, on bon

Dans le cas oti la fonction fx se réduit à une constante 1 — ay cette formule donne

et si la fonction £x se réduit aussi à une constante i, il vient

='Gd

const

En général, quand la fonction f devient constante, l'in-

tégration s'efFectue toutes les fois que f désigne une

fonction rationnelle et entière.

On peut déjà remarquer que, si la constante a se

trouvait négative, il serait impossible de considérer^ comme une fonction continue dex [a], à moins que la constante arbitraire ne vînt à s'évanouir, ce qui ferait disparaître a' de l'équation précédente. Mais dans l'hypothèse où^ désigne le terme général d'une série, et .r un indice qui ne comporte que des valeurs entières, rien ne s'oppose à ce que la constante a soit négative : il en résulte seulement que les valeurs consécutives de cf sont alternativement positives et négatives.

608. Considérons l'équation linéaire aux différences, d'un ordre quelconque, qui a pour forme générale A'«j-hP.A»-»/ + Q.A'»-»/ + + Ur=:V ,

P, Q,. . .U,. V désignant des fonctions de :c, ou (ce qui revient au même, attendu que les difTérences des divers ordres s'expriment en fonctions linéaires des valeurs successives de la variable dépendante)

On prouve, comme pour les équations différentielles analogues, que l'intégration de (a) se ramène à celle de l'équation

J«-H"+- Pjir+i.-. -H Q7x+»-a+ -h Ur,= o . (6)

Si l'on désigne par^,^'\^/*^, etc., des valeurs de^, propres à vérifier l'équation (^), celle-ci a pour propriété caractéristique, comme l'équation différentielle correspondante, d'être encore vérifiée par la valeur j^,=2. Cij-^^j les coefficients Q désignant des constantes arbitraires. Par conséquent, si l'on connaît n solutions ou intégrales particulières de l'équation (é), on en aura l'intégrale générale avec les n constantes exigées. L'ordre de l'équation à intégrer s'abaisse d'une unité, si l'on connaît une intégrale particulière, et ainsi de suite [462].

I>es n intégrales particulières s'obtiennent très-aisément quand les coefficients P, Q, . . . U sont des constantes; car, si l'on pose^,=:/w% d'oîi^,+;=/w*+^, on a, pour déterminer /w, l'équation algébrique

mr 4- P/ii»-« + Q/»*-» + + U = o ; {m)

et si l'on en désigne les racines par /w,, /w,,. . ./w«. Tintégrale générale de l'équation (b) prend la forme r,=C.w,* -h (vw/ -*- -I- Cjn/ -

486 LlfltB TIII — CVàVITBB IH.

'609. Noua ap{rfK{usroni ce qin prMd* k lUt pro- , blèroe ' anex cuneux d'aotl^w oombinaMve ^im Tvi peut énoncer' obuibio il buh, au -«(oawiivnt , pwirpliii de faunèveté, 4'appder le oMnbre m te^^osant j'use amhmtâam.m i yn : ,

« Sur le nombre total des combinaisons que l'on peut &ire avec ua nombre d'objets désigné par x, en les prenant là j. a à a, 3 à 3^ . . ,x ^ ~c, déterminer séparément le nombre de celles dont les exposants, divisés par un certain modale n, donnent pour reste l'ua des nombres Ot 1,3,3,. ..n — iiB

Désignons par ^°),j^'*,^*', . . . ^'ï les nombres à déterminer, qui sont autant de fooctioas' discontiDOes dn nombre x: Si x augmente de^ funitif, il'eat clair que le' nouvel objet % combiDeTf introduit dans les comlnmikobi de la <^te r (ou dans ecUctf-Ànt PêxpMaiit, drvÎM par n, donne pour i^du r), Ite fitftpMser à h classe r-t-f, M que de ptin cet cl^, pm amd, dteine une uouvellercombinarson à exptMlnt r. En'cons^uence on a

et par suite

Ay«)=A^— 1, Ayo =A^') , Ay« = Ay, ....

Ay- >=Ay-'". W

£n continuant de prendre les différences successives, jusqu'à ce qu'on soit arrivé à celles de l'ordre n, on trouve finalement

Ay)=A"-/''-i,A"y'=A"-y°),....Ay—)=A— y— »).{«,)

L'élimination entre les équations (c,), (c,) . . . (c.) donne

Ay"'=><°)+i ; w

A j^')=/", Ay"=y>, Ay-o=^-.) . (</}

Chacune des équations (d) est de la forme ^yp=zj^^ d'où Ton tire, en exprimant les différences en fonction des valeurs successives [58i2], n n{n — i)

Quand n est pair, le terme exvj, disparaissant, l'ordre de l'équation s'abaisse d'une unité, et il vient

rar+i—i— 7- 7»+,^. +-^— — '.Jar+m-a— — -.r:r=0. («,)

Pour le cas de n impair on a

L'équation (m) devient dans le premier cas

et dans le second

(/w — I )* — i=o ; d'où [79]

mz= I + cos — it K — I . sm —

=2 cos — ( COS — h K — I • sm — n\ n n,

et en transformant convenablement les exponentielles

imaginaires,

li/r Z' '^\* IWT ,ir / 27U\« 27C^ I

-l-MJ 2 cos- j cos h M, f 2 cos — \ cos l-etc. f / v

-l-N, ( 2 cos - j sm h N, f 2 cos — j sm h etc.

Maintenant, si l'on prend successivement pour/, chacune des fonctions y'\^*\y'"'"\ on déduira de la formule [e) les valeurs de toutes ces fonctions de x, qui ne différeront que par la détermination des constantes

488 LIVHE Vllt. CBAPITSB III.

arbitraires C,M„ M,, M,, N., etc. Quant à ré<|iiation (lia) , il est clair que la formule (e) ea dounera aussi l'intégrale, pourvu qu'on ajoute au second membre le terme constaut — i . D'ailleurs , par une conséquenct^ très-connue de la formule du binôme de Nevton ,

£n prenant, par exemple, n=4i c' d déterminani couvenablement les constantes arbitraires, on trouve

COS-jKX 1

sin-.Tex ,

eci,,,

610. On parvient quelquefois àexprimer les intégrales des équations aux différences, au moyen d'intégrales définies ordinaires. Pour feire connaître l'écrit de la méthode, prenons l'équation

dans laquelle nous supposerons que m est une t:onstanlc positive. Posons

il désignant une fonction de h dans laquelle x n'entre [V)s : il s'agit de déterminer cette fonction et tes limite» de l'intégrale., de manière à satis&irr à l'équation pro- (Kisée.

Cette «quatioo dnane

Mais on a, en intégrant par parties,

Donc, si l'on prend pour les limites de l'intégrale deux racines de l'équation

û(2<û + W*) =o , (cd)

l'équation {f) deviendra

et l'on y satisfera indépendamment de or^ en déterminant la fonction û par l'équation différentielle

W»( I + to))û^ — rf[û(2C0 -+-(«>*)] zz=o ,

qui donne

Û = C(2co-Hco*f ',

C désignant une constante arbitraire. Après qu'on a substitué cette valeur de Û dans l'équation (co), elle devient

C ( 2(0 -H Cl)* ) = o ,

et comme on a supposé le nombre m positif, on y satisfait en prenant pour les limites de l'intégrale

d'où

L'expression deviendra plus élégante, si l'on fait

w=cosa — I , 2crt + crt* = — sin*a, rfw zn — sin «cfe , ce qui donne

7a?=C( — i) / (l— cosa)*(sina)»»-"rfa.

On a d'ailleurs, pour déterminer la constante arbitraire C, au moyen de la valeur initiale jKo> Téquation

ro = C / '^ (sina)'«-«rfa.

611. Pour donner un exemple d'intégration, dans le cas où Ton ne suppose pas constante la différence de Tune des variables , concevons qu'il s'agisse de déterminer en fonction de x la quantité x, qui satisfait à l'équation

OU le terme général de la série des valeurs de /* que l'on construirait avec cette équation : les valeurs initiales de .r, )r étant Xo-, Jo- Soit i l'indice de deux termes qui se correspondent dans la série des valeurs de x et dans celle des valeurs de^ : on aura

L'équation (g^) est linéaire et a pour intégrale

Si l'on met la valeur initiale ^o s<>us la forme

l'équation (g^) donnera

et par suite

On doit remarquer que la dernière équation, qui est l'intégrale complète de (g)y renferme les deux constantes arbitraires et indépendantes ^To, 6*, ou x^^j^o'^ parce qu'en effet l'équation {g) ne peut être construite qu'après qu'on l'a transformée dans le système des équations (^,) <*t (^,), et qu'on s'est donné arbitrairement ^oj^o-

%jk. De la construction arithmétique des ëquations aux diffërences finies , à deux variables. — Conséquences relatives à la multiplicité des intégrales générales, à l'existence des intégrales singulières et au passage du fini à Tinfiniment petit.