X. x^ iz te
arc tang arc tang -— = — | — = ir.
La raison en est que la fonction sous le signe devenant infinie pour la valeur .r=o,rëlément qui correspond 1 à cette valeur singulière preiid une valeur finie, tandis! que tous les autres éléments restent nuls, par suite de la 1 valeur attribuée à e.
Ce qui prouve bien qu'en effet les autres éléments de l'intégrale sont nuls, c'est qu'on peut attribuer aux nombres x^^ Xi des valeurs finies quelconques, et même des valeurs infinies; en d'autres termes, étendre ou resserrtr arbitrairement lès limites de l'intégrale, sans en altérer la valeur. Pourvu que la limite supérieure demeure positive et la limite inférieure négative, la valeur de l'intégrale définie sera égale à la constante ir.
M. Cauchy a donné le nom d'intégrales définies singa- Hères aux intégrales telles que (9), qui échappent par leurs propriétés anomales aux règles ordinaires du calcal des intégrales définies.
324. Lorsque l'une des limites de l'intégrale est l'infini, positif ou négatif, ou lorsque l'une des limites est
PASSAGE AUX INTEGRALES DEFINIES. 47
l'infini positif et l'autre l'infini négatif, il faut, pour que Tintégrale ffxdx puisse conserver une valeur finie, que la fonction
s'évanouisse lorsqu'on y fait x ± oo . Admettons, pour fixer les idées, que les limites de l'intégrale soient — oo , j oo : en désignant toujours par e un nombre positif qui couverge indéfiniment vers zéro, et par ^^, \^ des constantes finies et positives quelconques, on pourra poser
(to
Kl
Donc il faut qu'on ait
r /* • txdx /*«5> ixtlx"}
= f(— oc) log Ç, -h f( oo) log (^
Il par conséquent
f(— oo) = o, f(oo)z=o,
1 cause de l'indétermination des constantes ^09 ^i*
* 325. Si la fonction fx est périodique, de manière :]u'à chaque valeur àefx corresponde, dans l'étendue fune période, une autre valeur numériquement égale pt de signe contraire, la valeur de l'intégrale définie est nécessairement indéterminée. Ainsi, de l'équation
sin mxdx zzz — (i — cos mx) , o rn^ ^'
48 LIVRE V. CHAPITRE Ilî.
on déduit
/sin mxdx z= — ( i — cos oo ), o m^ ^'
valeur indéterminée (puisqu'il n'y a pas de limite vers laquelle converge le cosinus d'un arc^ quand l'arc devient de plus en plus grand), mais pourtant comprise ^utre
SI
les limites o, — •
Concevons maintenant que l'on multiplie la fonction périodique fx par une fonction ç(e^), telle que ç (o)=:i, et que l'intégrale y*(p(sj!:) dx^ prise avec des limites infinies, conserve une valeur finie. Il en sera de même à plus forte raison pour XmiégtdXe f^{zx). fxdx. La valeur de cette intégrale variera en général avec celle du paramètre e, en convergeant, aussi en général, vers une certaine limite, quand on prendra e de plus en plus petit. £t puisqu'à ja limite le facteur 9 (sj;) se réduit à l'unité, on pourra considérer la limite vers laquelle converge Y'mXéçnXe f f^{ix^ fxdx comme la valeur de l'intégraJe ffxdxy ce qui lèvera l'indétermination de cette dernière intégrale.
Ainsi nous aurons, d'après les formules [h) du vfi
«•"*»sin mxdx-=.
o r'\'ne'^
e"** cos mxdxznz
ce qui donne, quand on fait c=o,
/ sin i9u:d!r =—, / oosjMnir=:o, o m^ J o '
équations déterminées, mais qui doivent être interprétées suivant la convention que Ton vient d'exposer.
