PASSAGE AUX INTÉGRALES DÉFINIES

aire ou réelle. Dans les exemples donnés ci-dessus, on ourra prendre

J7 = - a:,(i — cos 6 -4- i/Zrj.sin 6),

> % ou

dxz=z -^ x^ (sin 6 4- v/— i . cos 6yB ;

;t les limites de la nouvelle variable 0 correspondant aux imites .r = o, .r=.r„ pourront être

' désignant un nombre entier quelconque.

322. Quoique la fonction /r devienne infinie pour a valeur xz=\^ comprise entre les limites x^^ Xxy la lifFéren tieile ^âl[r peut ne pas prendre pour x=i\ une iraleur infinie ou indéterminée, et dans ce cas l'intégrale définie

fxdx

exprime encore la somme des valeurs de la différentielle fxdx^ entre les limites de l'intégrale. Ce point a déjà été établi d'une manière générale par la considération des courbes [35 et 54]. Pour y appliquer le calcul, Dous remarquerons que lorsque la fonction /2r est rendue infinie par la valeur :r=:Ç, on peut la concevoir

mise sous la forme

k désignant un exposant tel que la fonction îx ne devienne pas nulle ou infinie pour X'=z.\. Cela posé, si l'on &it

il viendra

/:;/-^=TiE/,;*""' c*)

/o, ^i désignant les valeurs de / qui correspondent à j;zz=:Xo, x=x^, et ^t étant la fonction qui provient de la substitution de la valeur de x en ^ dans £r. Par hypothèse la fonction ^t conserve une valeur finie ; et si Texposant k tombe entre o et i , ^ conserve aussi toujours une valeur finie entre les limites de l'intégrale; de sorte que la différentielle

consei*ve toujours une valeur infiniment petite, et c[ue l'intégrale (8) est la somme des valeurs de cette différentielle entre les limites de l'intégration.

La transformation tombe en défaut si l'on a X:=: i , et dans ce cas l'élément différentiel^ûte prend, pour x=2\, une valeur finie et indéterminée, pourvu d'ailleurs que la fonction fx ne passe pas brusquement d'une valeur finie à une autre, quand x atteint la valeur ^. En effet y l'on peut considérer cet élément différentiel comme la limite vers laquelle converge l'intégrale définie

I jxax^=z I — — =a^,

quand on prend pour £ un nombre positif de plus en plus petit : Ço, Ç, désignant d'ailleurs des nombres quelconques, finis , constants et positifs. Dans le passage à cette limite, le terme fx converge vers la valeur constante f^ , finie et unique par hypothèse : donc on a

/ç+«5i ri-^tii dx /E^

fxdxi=SiAim, / pzzzfE.Wf ^ ),

quantité indéterminée, à cause de l'indétermination des constantes Ço,^,.

PASSAGE AUX INTEGRALES DIÎFIiriES. 45

En général , que la fonction fx soit algébrique ou iranscendante, on peut poser

{x — ^fxdx-=LÎx , [désignant toujours la valeur de x qui rend^^ infinie; it selon que la quantité fÇ sera nulle, finie ou infinie, 'élëinent différentiel fxdx aura une valeur infiniment >elite, finie et indéterminée, ou bien une valeur infinie; 4: dans le premier oas seulement l'intégrale

/'fxdx

K>urra être considérée comme une somme d'éléments lifierentiels.

*323. Lorsque, dans Tintégrale définie

'J{x,%)dx,

a fonction yir ne devient point infinie pour tes valeurs le a: comprises entre les limites a?^, .r, , quelle que soit railleurs la valeur attribuée au paramètre s, il est inliffiSrent d'attribuer à c une valeur déterminée, par semple de supposer cette constante nulle, avant ou iprès rintégration* Mais cette propriété , qui appartient uix intégrales définies en tant qu'elles représentent une somme d'âéments différentiels, ne subsiste plus en général , si la f(»iction f passe par l'infini entre les limites de l'intégration. Prenons pour exemple l'intégrale définie

f %dx X X

jq-p = arc tang-^ - arc t;ang -^- (9)

Si les nombres x^^ x^ sont tons deux positifs, en sorte que la fonction sous le signe ne passe pas par l'infini entre les limites x^^x^^ même dans l'hypothèse 8=0, cette hypothèse donnera d'une part

46 LiVRB V. CHA.P1TRE llf.

et d'autre part

arc tang -* — arc tang — :=^- = o;

de façon qu'il sera effectivement indifféreat d^ substihier la valeu^r de e en dedans ou ei| dehors du^ ^igB9 fj avant ou après l'intégration. Mais, si le nombre x^ était positif et le nombre x^ négatif , la première substitution don- T nerait toujours zéro pour la valeur de l'intégrale , tandis que la seconde donnerait