Soit

l'équation d'une ellipse rapportée à son centre et à ses axes : si nous posons

de manière que c désigne l'excentricité de l'ellipse , nous aurons pour la longueur de l'arc B/w [fig. 77), mesurée depuis le sommet B du petit axe jusqu'au point m dont l'abscisse est x [174]?

Faisons

^=asin«p:

il viendra

-= / V/ 1 — c» 5m»9 . flfcp = E(c,(p). « y o

A cause de cette propriété remarquable de la fonction E de mesurer l'arc d'une ellipse dont c est l'excentricité, quand on prend L'angle ? pour variable indépendante et

le sommet du petit axe pour origine des arcs, les trois fonctions F^ E, Il ont reçu la dénomination Aq fonctions elliptiques y et on les distingue en les qualifiant respectivement de fonctions elliptiques de première^ de seconde et de troisième espèces.

La constante c qui représente, dans la fonction de seconde espèce, l'excentricité d'une ellipse, se nomme en général le module : la constante a, qui n'entre que dans la fonction de troisième espèce, et qui peut être positive ou négative, réelle ou imaginaire, conserve spécialement le nom de paramètre.

La variable indépendante <p se nomme Xamplitude. Si du point O comme centre , avec le rayon OA, on décrit un cercle, et qu'on prolonge l'ordonnée /?m jusqu'à la rencontre du cercle en /i, on a Op =0n. sin BO/i. Ainsi l'amplitlide «p est représentée géométriquement par l'angle BOn , quand la fonction E (c, <p) est représentée géométriquement par l'arc elliptique Bm.

Les trois fonctions elliptiques sont évidemment des fonctions impaires de (p [i8], puisque la différentielle â/cp change de signe par le changement de (p en — cp^ tandis que le facteur qui multiplie d^ sous le signe /^ ne change pas.

Quand l'amplitude 9 est égale à un quart de circonférence, ou lorsqu'on prend ^ lu pour limite supérieure des intégrales, les fonctions sont dites complètes^ et on les désigne simplement par

Si les valeurs des fonctions elliptiques sont calculées pour un quart de circonférence, c'est-à-dire, pour toutes les valeurs de 9 comprises entre o et ^ 'tt, elles se trouveront déterminées pour des valeurs quelconques de <p,

à cause de la périodicité de la fonction sin^(p qui entre sous le signe d'intégration. Ainsi l'on a

FÇcyTz + 9)= 2F(c)+F(c,cp), FCc,|7r + 9) = 4F(c)— F(er,|7r-9), F(c,27r+ <p) = 4F(c?)+F(c;,cp),

et ainsi des autres.

Le module c doit toujours être supposé < i [3io] : deux modules c, c' liés par l'équation c*-[-c'*=i, sont dits complémentaires.

328. Désignons par cp, ^, ^l les trois côtés d'un triangle sphérique^ dans lequel l'angle M, opposé au coté [a, serait donné par l'équation sin M= c sin [ji; de façon que, si l'on pose pour abréger

COS M = V/i— ca5iii»tA=A(A,

la formule fondamentale de la trigonométrie sphérique donnera la relation

cos[ii = coscpcos^+ sin 9 sin ^.Afii, (i)

et par suite

j LJîZ-::izz (cos <p cos <|; + sin 9 sin <{;. Ajjl)*.

En résolvant cette dernière équation par rapport à Ajjl, et en rejetant la racine qui donnerait pour A^jl une valeur négative, on trouve

Au(i — c*sin* 9 sin*({>) = — c' sin 9 sin ^j; cos 9 cos ^

-f- y/'i — c» (i — cos' ç cos» ^ 4- «in» ç sin* ^ — c» sia* ç sin» ^).

Mais il est aisé de vérifier que la quantité sous le radical se réduit à

{i — c^ sin^ ?)" (i — ^' sin» ij;)* = (A9)\ (A<J;)% en désignant par A9, A^ des quantités composées en 9,

ij/ comme A[ji l'est en ^l : donc, suivant cette notation^ *

. A«p . A^ — c* sin <p sin ^ ces 9 ces ^ . .

^ I — (?*sin* ç sin* ^

On en conclut, après quelques transformations,

. j I — (A(a)* (sin <p cos <j;A^ + sin ^j; cos <pAcp)*

*^ à* (i — c*sin*9sin*tj;)* *"

sin 9 cos d;Ad^ + sin d^ cos (dAq .«..

sm (A = 1 V' > — ■ , I ' (3)

' I — c* sm* 9 sm* ^ ^ '

Si l'on différence cette dernière équation, en y considérant 9 et ^ comme des arcs variables, et [l comme un arc constant, il vient

A9 (i — c*sin*9sîn*<j;)* A^ (i — c*sin*9sin*<|;)* * ^ ^

Pour abréger, nous désignons par 0(9, ^) la fonction

(i + c* sin* 9 sin* ^) cos 9 cos ^A9A^ — sin 9 sin ^j; -f-<?* sin9 sin^(sin* 9+sin* <|; — cos*9 cos*i]* — c?*sin*9 sin*<|;). Comme l'équation (3) est symétrique par rapport à ? et à ^, il suffira de former le coefficient de t/9^ d'où l'on conclura celui de d^. On pourrait donner à la fonction 0 d'autres formes : il convient seulement d'en choisir une qui mette en évidence la propriété de cette fonction d'être symétrique par rapport aux deux variables 9, ^. L'équation (4) se réduit à

d*oii^ en intégrant,

F(c?,9) + F(c,<j;) .=: const.

Pour déterminer la constante arbitraire que cette intégration a introduite^ on fait dans l'équation (1) 4^==o, ce qui donne 9=(ji; et comme F (c, o)=:o, il en résulte entre les variables 9^ ^ et la constante (jl, déjà liées par l'équation (i), et assujetties à former les trois côtés d'un

triangle sphérique dans lequel l'angle opposé au coté constant est aussi constant , cette autre équation

FCc,«p) + F(«r,.|;) = F(c,(t). (5)

Donc^ si l'on a les valeurs de la fonction elliptique de première espèce pour deux amplitudes <p, ^, on obtiendra par l'addition de ces valeurs celle de la fonction de même espèce pour une amplitude [Lj (jl étant déterminé en fonction de <p, ^ par l'équation (i),ou par l'équation (3) qui en est une transformation.

32i9. Posons

u = F(^,cp), u = F{c,^y

Afin d'exprimer que cp est l'amplitude pour laquelle la fonction F a la valeur u, nous écrirons avec M. Jacobi

cp=:am u;

de sorte que les lettres aniy initiales du mot amplitude, désigneront la fonction inverse de celle à laquelle a été affectée la caractéristique F.

On écrira aussi d'après cette convention

\|^ = am Vy A9 = Aami<, A^==iAam(^;

et en conséquence la combinaison des équations (3) et

(5) donnera

sin am(2^ + 1^)

sin am u.cos am t^, Aam ^ -4- sin am u. cos am u. Aam u , .

I — c'sin'amii.sinaam v

Lorsque le module c se réduit à zéro, l'équation précédente se change dans la formule

sin (a + p) = sin u cos i/ + sin c cos u.

On trouverait de même :

sin 2jx\{ii — {f) sin am u . cos am v . Aam v — sin am v . cos am u . Aam u

I — c^ sin^ am u , sin* am v '

cos ain(a db u) CCS am a. cos am (^. ir: sin am u . sin am (^. Aam u. Aam ^

I — - c* sin* amu.sin' am tf '

et en général, toutes les formules dont les analystes font un si fréquent usage pour la transformation des fonctions trigonométriques^ ont leurs analogues pour la transformation des fonctions elliptiques inverses de première espèce, ou plutôt peuvent être considérées comme des cas particuliers des formules elliptiques, dans lesquelles on suppose le module nul, ce qui entraîne

SLinuzzzUy Aam2<=i.

Le développement de ces curieuses analogies a fait l'objet des beaux travaux d^Abel et de M. Jacobi , accueillis dans le monde savant avec un intérêt que la jeunesse des deux émules, la mort prématurée de l'un d'eux rendaient encore plus vif. La sagacité de ces géomètres s'est appliquée surtout à suivre dans leur extension aux fonctions elliptiques inverses, les relations remarquables par lesquelles l'analyse des sections angulaires se rattache à la théorie des nombres et à la haute algèbre [79].

330. La fonction sin u et toutes les autres fonctions trigonométriques qui en dérivent, ^ont périodiques pour les valeurs réelles de la variable u : elles cessent de l'être si l'on fait passer la variable indépendante par une suite de valeurs imaginaires m IX^ZT, puisqu'elles se changent alors en fonctions exponentielles. L'inverse a lieu pour la fonction exponentielle ^. La fonction sin am u jouit de la propriété de rester périodique, soit qu'on fasse passer la variable u par une suite de valeurs réelles ou par une suite de valeurs imaginaires ; de sorte qu'elle cumule le principal attribut des fonctions trigonométriques ordinaires avec celui des fonctions exponentielles.

Désignons par -^ri^SL valeur de u qui correspond à l'amplitude (ps-jir, ou la valeur de la fonction complète F (c) : on aura [Sa 7]

sin am II := sin am (u + 2Xi) = sin am (u + 4'^) =sinam(a+arcf),

i désignant un nombre entier quelconque. Ainsi, en premier lieu , la fonction sin am u est périodique pour les valeurs réelles de u.

Faisons maintenant

8in(p= l/'HT.tangG, c'*= i — c% ce qui donne

cos*(p= I -f- tang*6= — -v, ^ ^ cos*9'

cos9cos*6 'cos6'

V^i — c»8În»9 l/'i — c'»8iii*a

et posons

il en résultera (en mettant le module entre parenthèses^ à la suite du signe sin am^ pour distinguer les amplitudes qui se rapportent à des modules différents) :

sin 0 = sin am(i£^c?') , tangO =. tang am(K,c') , sin <p = sin am(KV/iri,<?), et par conséquent

sin 'din{ui/~iyc)=z {/~ . tang am(M,c').

Désignons par ^ 'Vi' la valeur de la fonction complète F(c') : nous aurons

tang am(iijc') = tang am{u 4- 2x5' ^c') = tang ani(a -f- 4'^%c')

=tangam(a + 2£'trf',6''),

i' ^tant un nombre entier quelconque, et par suite

sin am(aV^Ii;) = sin ain[(ii+ 2«'trf')v/IIî], les amplitudes, dans cette dernière formule, se rapportant au module c. Donc

sin am(2/'trf'l/'IIx) = sin am(o) = i ,

cosam(2i'trf' W^ — i) = cos am(o) = i , A am(ai'xJ'v/^)=:i.

En vertu de ces dernières relations, si l'on fait dans

la formule (a) if=.^vtà'\/''^, elle donnera

sin am(if -f- afti' \/~i) = sin am u.

Mais nous avons déjà trouvé

sin am(tt + ^ixS) =: sin am w^ donc

sin am u z= sin am(ii + arcJ 4- at'xS'v/IIî);

et cette dernière formule exprime la double périodicité qu'il s'agissait d'établir : l'une des périodes ayant un argument réel, et l'autre un argument imaginaire.

331. U est aisé devoir, d'après ce qui précède, comment on pourrait construire, pour une valeur donnée du module , entre les limites d'amplitude o et ~ 17, une table des valeurs de la fonction F, ou (ce qui serait en* core plus simple) une table des valeurs de la fonction inverse sinam i/, entre les limites {^==:o, u=i ^xj. Faisons dans la formule {a) if=^Uy et supposons ^u assez petit pour qu'on puisse prendre sans erreur sensible

sin am ^u = sin ^i^ = $tt, cosam ^u = cos&tf = i , A(^tf) = i : cette formule donnera

sin am(tf + ^ii) = sin am u + ^i^.cos am u. Aam u. En faisant successivement, dans cette dernière équation,

u = ^u, u = 2^tt, u = 3&U9 etc. on aura les valeurs de la fonction sin am u pour une suite de valeurs équidifférentes de u^ dont la différence est 5w. Ce procédé comporterait des simplifications

58 LIVRE V. GHA^PITRl^ IV.

et des vérifications analogues à celles qu'on indique pour le calcul des tables trigonométriques ordinaires. D'ailleurs on renverserait sans difficulté la table des valeurs de la fonction sin am u^ pour former celle des valeurs de la fonction u==F (c, cp), qui est plus spécialement appropriée aux besoins du calcul intégral.

332. 11 s'agit de montrer maintenant comment on peut calculer directement la fonction F (c^ ?) pour chaque valeur du module et de l'amplitude, sans être obligé de construire une table spéciale pour chaque module, en répétant le système d'opérations indiqua dans le n® précédent. Désignons donc par c, c, des modules quelconques, et proposons-nous de déterminer un coefficient constant A", de manière qu'on ait

F(c,(p) = *F(c„(pO, ou

Il y a une infinité de manières de satisfaire à cette équation, en assignant des relations convenables entre les modules c, c^ et entre les variables ç, <p,. Sans traiter le problème par des méthodes directes qui exigeraient de trop longs développements , admettons que l'on fasse

sin* 9(1 — c^* sin* <p,)= À:* sin* <p,(i — sin* ç,), (7) ce qui donne par la difFérentiation

sin <p, cos <p,rf<Pi cos «pcKp

sin cp(i — c,* sin* <p,) c,* sin* <p + A:*(i — 2 sin* <pi)

Mettons dans le premier membre la valeur de sin <f et dans le second celle de sin 9, , l'une et l'autre tirées de l'équation (7) : nous aurons

dfj^ cos (p</<p

équation dont la comparaison avec Tëquation (6) donne

rfp dm

k^ COS fV^i — c>sin*9 y(k* + Ci* sin» 9)»— 4*» sin» <p

A*(i — sin* <p) (i — c* sin* <p) = (A» + c,> sin' <p)* - 4^* sin» 9 ; et pour que celle-ci soit identique par rapport à <p , il faut qu'on ait

c/ = *V, 4 - 2C,» = h(e* +1), d'où l'on tire

Cx= — , k =

Substituons dans l'équation (7) ces valeurs de Cx, A-,

et elle donnera

sin (29, — 9) = c sin 9.

333* La valeur de c. ainsi déterminée est toujours plus grande que c. D'après cela, imaginons que l'on calcule une suite, ou, comme on dit, une échelle de modules Cx, c,, 6*3,. . • liés entre eux et au module pri* mitif € par les équations

2V/^ ^VTx 21/^ ^ ,,x

c, = , c, =^ , c, =: , etc. {o)

jusqu'à ce qu'on arrive à une valeur c^ peu différente de l'unité ; et que l'on détermine en outre une série d'amplitudes ?x, ?a> ?3,. . • • au moyen des équations

sin (29,-9 ) = c sin 9,

sin(29,-9,) = c,sin9„ ( (c)

sin(293-.9.) = c,sin9„ etc. :

on aura aussi

FM.)=i±s.FM,)=(i±^) Q^) (i±:)^(..,^

etc.

Mais lorsque , dans Tëchelle des modules , on sera arrivé à un terme c„ peu différent de l'unité (et il suffira ordinairement de calculer un petit nombre de termes) ^ on aura sensiblement

d'où

Rien n'empêcbe de prolonger la série (A) en arrière de c par une suite de termes c,, c?«a, c 3,. . .dérivant les uns des autres selon la même loi , en sorte qu'on ait

c=z ^-^5 c?-, = — ^, c»,= — r^^^, etc. (*')

sin ( a(p — <p-x) = c«x sin (p«, , J

sin (2(p x-<p-,) = c-a sin (p.„ | (c')

etc. )

On tombera bientôt sur un terme c.„ très-peu différent de zéro , et alors on aura sensiblement

d'où

On choisira entre les formules (d) et (rf') celle qui conduira le plus rapidement à la valeur de F(c, 9). C'est ainsi qu'ont pu être calculées les tables données par Legendre dans son grand ouvrage sur les fonctions elliptiques.

Quand on prend <?= ^tt, les équations (d) donnent

Donc si l'on désigne par K la limite vers laquelle converge le produit

composé d'un nombre infini de facteurs qui vont en convergeant vers l'unité, la valeur de la fonction complète

F(c)estK-. ■ '^^