Passons à la fonction elliptique de seconde espèce

E(c?,<p)=/ »/i— c>8ma<p.rfcpz= / i^ îZJ'.

Si l'on désigne toujours par cp, "f deux angles assujettis à vérifier l'équation (i) du n° 3^8, et par conséquent l'équation différentielle

on a

=c?*(sin* ^j; -- sin* <p) -p*

Or l'équation ( i ) donne

A(& d.sin 9 sin ^ = sin cp cos (|^ «{ip + sin ^ cos (p d^y et eu substituant pour d^^ sa valeur tirée de l'équation (8),

A(t . d. sin 9 sin ^ =: (sin 9 cos i]*A(p — sin ^ cos <p A<|;) -r— (9)

On a d'ailleurs, en vertu des équations (a) et (3),

sin fL sin 9 cos <|;A9 + sin ^ cos 9 A9 ^ . .

A(i. A9A^— c?*sin9sin<|;cos9COs<j/' et de la combinaison des équations (9) et (10) on tire aisément

sin (JL d. sin 9 sin ^= (sin* 9 — sin* ^) ^« (i i)

62 LÎVRK V. CHAPITRE IV.

Donc

rf. E(c,ç) + d. E(c,i|>) = — c* sin (il i/. sin <p sin ij;, E(é?,(p) + E(c;^) = const. — c^ sin (jl sin <p sin \{;, et en déterminant la constante arbitraire de manière qu'on ait à la fois i|;=o, ? = (it,

E(c,(p) + E(c,(j;) = E(c^(Jl) — c* sin pi sin 9 sin <(;. (12)

En comparant cette formule à l'équation (5) qui en est l'analogue pour la fonction F^ on voit pourquoi les géomètres qui ont traité des fonctions elliptiques ont mis . au premier rang la fonction F comme plus simple; quoique, d'après l'analogie géométrique, la fonction £, qui mesure un arc d'ellipse , semblât devoir venir immédiatement après les arcs de cercle.

335. Considérons maintenant, comme dans le n"* 332 ^ un module c^ et une amplitude 9^ , liés à c et à <p par les équations *

Cx = — : — , sin (2cp, — 9) = c sin 9. (i3)

On tirera de, celle-ci par la différentiation

, - c cos 9 + cos (29, — 9)

2005(291 — 9) ou bien en remplaçant cos (29^ — 9) par sa valeur A9, tirée de la seconde équation (i3),

j d^ CCOS9 + A9

Mais l'équation (6) donne

, «9 Kl — Cx'sin'tt

ou , en remettant pour k sa valeur,

rf9x = ^ ^- V/i-c.«»m»9x. {1^)

Comme les équations (i4) et (i5) doivent s'accorder, il faut qu'on ait

(l + c)|/'i — c,»am«<p, = CCOS <p + Acp. (l6)

\fultiplions les équations (i4) et (i6) membre à membre, et il viendra

, . . , d(D (c ces 9 -4- Acp)*

(H-c)v^i — cx»«m«<px.rf?x==^-^^ ^

= Kl — c»8m»ç.a<p • hccosyacp;

d'où , en intégrant ,

(i + c)E(c„cp.) = E(c,(p) — ^^^" . r(c,(p) + c sin ç. (17)

Nous n'ajoutons pas de constante arbitraire, parce que tous les termes de cette équation s'évanouissent séparément pour 9=0.

En vertu de la formule (17), la fonction E (c,,<pi) est donnée par deux fonctions elliptiques, l'une de première, l'autre de seconde espèce, ayant chacune même module et même amplitude; et réciproquement la fonction de première espèce est donnée par deux fonctions de seconde espèce , qui différent de module et d'amplitude.

Si l'on prend (p = 7r, on aura <p, = ^7r, E(c,7r) = 2E(c,-i tc) = aE(c),

et la formule (17) donnera cette relation entre lesfonc-' tions complètes

(i + c)E(cO = aE(c) — ( I — c")F(r). ( 1 8)

336. En suivant l'échelle des modules et des amplitudes dont la loi a été donnée dans le n® 333, on trouve

(1 + r,)E((?„(p,) =: E(c,,cp,)illfL.F((?.,<p,) + c, sin9„(i9)

F(c„çO = ^.F(c,,p). (20)

On peut éliminer F(c,cp) , F (c^cp,) entre les équations ( 1 7), (19) et (20), puis substituer pour c, sa valeur en c, et il vient définitivement

^^»^)= TZTc -E(co?0" (^,^),'E(^a>y>)

— csm^pH .smcp,, (21).

Comme le même calcul peut être indéfiniment répété, en suivant l'échelle ascendante ou descendante des modules, on ramènera toujours la fonction E(c^<p) à dépendre de deux fonctions de même espèce, pour lesquelles le module aura une valeur très-peu différente de zéro ou de Tunité. Or , quand le module c« est très-peu différent de zéro ou de l'unité, on a, sans erreur sensible ,

ou bien

E(tf„,<P;,)= / ^"cos cp.tfSp = sin cp».

337. Nous ne donnerons qu'un théorème concernant les fonctions elliptiques de troisième espèce, et ce sera l'analogue de ceux qui se trouvent exprimés par les formules (5) et (lïat), relatives aux fonctions de première et de seconde espèce. En désignant toujours parf,^ deux amplitudes variables, assujetties à vérifier les équations (i), (3), (8), on a

t „, \ f / I \ ^9 sin A — sin ©

"V > >Ty xtv ? ,Ty ^ç (i+asin*cp)(i+asm*<(;)

ou bien, en vertu de l'équation (i i), __, N , w-r/ IN • rf. sinçsinJ/ , .

Si Ton pose

tH^ORIE DES FONCTIONS ELLIPTIQUES. 65

sin ç sin ^j^ zzz a, sin* <p + sin' ^ = P, le second membre de réquation précédente devient

a sm \L

dcL

i + ap+û'a' On tire de Téquation (i)

cos* 9 CCS* ^ = CCS* (A — îa ces fxA(JL sin cp sin ^

-f- ( I — c* sin* (i) sin' cp sin' if ; et comme

cos*<pcos*^|;= I — (sin*cp+sin^^)4-sin'cpsin'^= i — P +a%

il vient

I — P + a*=co8'(JL — 2acos(JLA(JL+a'(^ — c'sin'pt),

d'où

P = sin* (A + 2a cos (lAji + a'c' sin' (a ,

et par suite

doL doL

i+^P+û'a' /? + aya+ra' en posant , pour abréger ,

i-f-ûsin'(JL=^, acos(iLAp.z=^, ac*sin*fjL + rt*=r. Si donc l'on représente par O (a) l'intégrale

o p + ^qcL + roL* qui s'exprime toujours par logarithmes ou par arcs de cercle, l'équation (a a) donnera

TJ{c,ay<f) + n(^j«><|') = const. — a sin [a . $(sin ^ sin <j;). Mais, pour i'zzzOy'on a ? = (i, n(c,a,^)=o, ^(o)=o; donc

n(c,a,<p) + n(c,a,ij/) = II(c,a,fx) — a sin [a , *(sin 9 sin ^).