T«V^x— c»dn»9 ; — * . . ■ ■ '=a
En conséquence 5 = ^ fcotç. v/' i-c^siaaç +E(c,<p)-E(cHi-^) [F(^>?>-F(c)] I ;
en sorte que l'arc d'hyperbole s'exprime au moyen de deux fonctions elliptiques de première et de seconde espèces.
On peut chasser les fonctions F(c,<p), F(c) au moyen des équations (17) et ( 1 8) du n*" 335 , ce qui donne :
es ^^__— —
— = cot «p . V^i— c>8îna^ — acsin «p + E(c) — E(^,f )
+ 2(1 + c) E(£?.,T,) - (1+ c)E(cO.
Ainsi la rectification de l'hyperbole est ramenée à dé* pendre de celle de deux ellipses d'excentricités différentes, théorème dont on doit la découverte à Landen. Pour trouver ce que représente dans ce cas l'amplitude (p, décrivons un cercle du point O comme centre, et du demi-arc OA comme rayon {fig. 84) ; du point /w, dont l'abscisse est x , abaissons l'ordonnée mp , et par le pied p menons une droite qui touchera le cercle en ^ : on a
xz
'costOp sinBO^' et par conséquent ctngle BOt=<^.
Si Ton prolonge Yordonnée pm jusqu'à la rencontre de
l'asymptote en /i, et qu'on appelle r la longueur On , il
viendra
àr c csino)'
ou
-(r -s)=: Ij ? +2csin9— E(c) + E(c,cp)
—2(1 + c)E(c„cpO + (i -h c) E(cO.
Sil'on fait dans cette expression 9=0, ce qui correspond à :r=o, on a
«in<p = o, E(c,(p)=:o, (p, = o, E(c„<p,) = o; quant au terme
sincp '
il se présente sous la forme ^, et se réduit à zéro d'après la règle connue : donc on a dans ce cas
En d'autres termes, lorsque les longueurs A/72, On vont en crobsant indéfiniment, la différence On — Am converge vers la limite
^346. On a trouvé [180] pour la différentielle d'un arc de courbe plane, en coordonnées polaires,
d'où l'on tire
selon qu'on veut éliminer la variable r ou la variable fj au moyen de l'équation polaire de la courbe. Par exemple, l'équation delà lemniscate [21 3]
devient en coordonnées polaires
r' =■ a'(cos'<p — sin'<p) ;
ce qui donne ^ quand on prend pour origine des arcs le point A [fig. 60) , où la lemhiscate coupe Taxe des x ,
'9 rfflp
K co»* ^ — sin* 9
Posons
sin<p =— ;=:.sin4',
cette expression deviendra
t=-L,f-'^-^==.JL,Y(^i). (5)
En conséquence , les propriétés de la fonction elliptique de première espèce peuvent se traduire en propriétés de la lemniscate, qui sous ce rapport ofTre des analogies très-curieuses avec le cercle. Le géomètre Fagnani est le premier qui ait étudié la lemniscate sous ce point de vue, et ses recherches ont été l'origine de la théorie des fonctions elliptiques.
Il faut remarquer que les équations (4) ou (5) ne donnent les valeurs de s que pour les valeurs de 9 comprises entre — ^ ic et ^ lu, ou pour les valeurs de 'f comprises entre — ^ ^ic et 7 lu, en sorte qu'elles ne s'étendent pas au delà du point d'inflexion de la lemniscate.
