Le radical

doit en général être pris avec le même signe dans toute l'étendue de l'intégration, afin que, si la valeur de Tare est positive quand il se termine à des points situés au ddà de celui que l'on prend pour origine des arcs, elle soit négative quand l'arc se termine à des points situés en deçà de l'origine, ou réciproquement. En conséquence, lorsque l'intégrale pourra s'obtenir sous forme finie, le radical R qui se retrouvera dans l'intégrale [399]? ne devra pas y être censé affecté du double signe ; au contraire, les radicaux qui pourraient se trouver dans [/'xf^ et qui proviendraient de la multiplicité des branches de la courbe, devraient être affectés dans l'intégrale d'un double signe, afin que l'expression de l'arc de la courbe eût toute la généralité qu'elle comporte, et qu'elle s'appliquât, non-seulement à une branche de la courbe, mais à toutes les branches.

Remarquons maintenant que si la courbe avait deux branches symétriques par rapport à une droite parallèle à Taxe des x^f'x aurait bien deux valeurs numériquement égales et opposées de signes; mais le carré {f'xy^ qui entre dans l'intégrale {s\ n'aurait plus qu'une seule valeur. Dans ce cas, si les deux branches se raccordaient en un point rn^ {Jig, 8îi) pris pour origine des arcs, il faudrait prendre le radical R avec le double signe, afin qu'à une même abscisse Op=x pussent correspondre deux arcs /72o/72, m^ m^ l'un positif, l'autre négatif.

Si au contraire les deux brauches qui se raccordent au point m^ [fig. 83) n'étaient pas symétriques par rapport à une droite parallèle à l'arc des Xy la quantité if'xy renfermerait un radical p : il faudrait combiner dans l'intégrale le signe -|- du radical R avec le signe du radical p qui appartient à la branche m^ m, et le signe — du radical R avec le signe du radical p qui appartient à la branche mjn'\ toutes les autres combinaisons entre lis signes de ces radicaux devraient être rejetées comme étrangères.

On voit donc que, suivant les cas, il Êiudra, pour faire cadrer les formules analytiques avec les formes des courbes à rectifier, tantôt donner aux formules toute Textension qu'elles comportent algébriquement, et d'autres fois en restreindre la généralité algébrique.

344. Appliquons d'abord la formule de rectification à la parabole ordinaire, dont nous mettrons l'équation sous la forme

£n plaçant l'origine des arcs au sommet de la parabole, nous aurons

V^i -f-ii»»a;» . dx = -x\/iJ^ m*x*

— los{mx + [/i^m*x*\ (a)

Il est aisé de voir que cette expression change de signe en conservant la même valeur numérique, lorsqu'on change x en — >x; ce qui s'accorde avec }a situation de la parabole par rapport aux axes. D'ailtburs on ne peut prendre négativement le radical 1/7+otV , puisqu'on tomberait sur un logarithme imaginaire.

Considérons maintenant la parabole de Neil [197] j en donnant à l'équation de cette courbe la forme

et prenons pour origine des arcs l'origine des coordonnées où la courbe subit un rebroussement de première espèce (Jig. 53). La formule (s) donnera

Cette formule tombe dans le cas de défaut que nous avons signalé [34^^] • elle devrait donner pour s des valeurs imaginaires, dès que a: prend des valeurs négatives, tandis qu'elle attribue à s une valeur réelle, tant que X reste compris entre o et — ^m.

On sait que la parabole de Neil est la développée d'une parabole ordinaire [197] : il résulte de la théorie des développées des courbes planes, que l'on peut toujours assigner algébriquement la différence des rayons osculateurs d'une courbe algébrique en deux points différents (^oi7*o) ? C^oXi) 1 ou , ce qui est la même chose [ 1 9 1 ] > la longueur de l'arc de la développée de cette courbe , compris entre les points (ÇojTOo), {iif'^i) t q^^ sont les centres de courbure de la développante , correspondant

respectivement aux points (^ot7o)> ip^tiK^' D'autre part les coordonnées ^o9»o; ^o»! peuvent toujours s'exprimer algébriquement en fonction de ^oiT^oJ ^xxKu ^^ réciproquement. Par conséquent , toutes les courbes qui sont les développées de courbes algébriques doivent être rectifiables comme la parabole de Neil ; c'^st-à-dire que Ton peut exprimer la longueur de l'arc en fonction algébrique des coordonnées des points extrêmes.

La portion de l'axe des x^ dont les points extrêmes ont pour abscisses j;=o, j; = — ^rrij et dans l'étendue duquel la formule (3) tombe en défaut , est le rayon de courbure du sommet de la parabole développante.

*345. On applique immédiatement à la comparaison des arcs d'ellipse tout ce qui a été dit dans le dernier chapitre des propriétés de la fonction elliptique de seconde espèce. Ainsi l'équation (12) du n° 334 établit une relation linéaire entre les longueurs de trois arcs pris sur la même ellipse, et dont les amplitudes mesurent les trois côtés d'un certain triangle sphérique. En vertu de la formule (ai), la rectification d'une ellipse quelconque se ramène à la rectification d'une ellipse trèsexcentrique, dont les arcs se confondraient sensiblement avec des portions de ligne droite , ou inversement à la rectification d'une ellipse très-peu excentrique dont, les arcs se confondraient sensiblement avec des arcs de cercle.

L'équation de l'hyperbole rapportée à son centre et à ses arcs étant

SI nous posons

a'+i" ' sin<p'

la longueur de l'arc, mesuré à partir du sommet de l'une des branches de la courbe , est

Mais l'intégration par parties donne

y do ^„„^^^^^^,.,__^ r cos oûip

Kl — c«8in»<p*--T~--=--COt9.t/i--.c»8m>q)--C*/ , . >

^ sm»(p ^ ^ y V^i— <?»»iiiV

et l'on a d'autre part identiquement

cos'ç I , I — c* X