QUADRATURE DES SURFACES DE REVOLUTION

fondre avec la courbe. Cette définition est analogue à celle que nous avons donnée de la longueur des lignes courbes [174] 9 ^^ nous reviendrons encore sur ce sujet, en parlant, dans le chapitre suivant, de la mesure des aires des surfaces quelconques.

Conservons toutes les notations du n° précédent, et appelons u Taire de la portion de surface de révolution interceptée entre les deux plans perpendiculaires à Taxe des X. L'aire du tronc de cône engendré par le côté du polygone inscrit qui joint les points (^^T*), (.r-f-Ax, jr 4- Ay), est exprimée par

et son rapport à l'accroissement A^ a pour limite

2irrV/x-h^; donc, d'après la définition de la grandeur u,

d'où

Pour certaines valeurs de a: , la formule tombera en dé- &ut dans son application géométrique, si la fonction sous le signe y reste réelle, tandis que^ passe par des valeurs imaginaires.

Appliquant cette formule à Tellipsoîde de révolution considéré plus haut, nous aurons

ajo ^ «

Supposons d'abord rellipsôïde allongé ou a > é, et

i* — a* posons 5 — =; c* : il viendra

ii = içifa?Y/ I ^+-.arc sin— 1.

On pourrait attribuer à x des valeurs > a et < - ,

sans que l'expression de u cessât d'être réelle , mais on sortirait des conditions géométriques du problème. La formule donne pour l'aire totale de l'ellipsoïde allongé

aw^* H arc sm c),

Quand c=o, on a a= A, = i,et l'on retrouve

l'expression connue de la surface de la sphère.

Supposons en second lieu l'ellipsoïde aplati y ou

« < é, et posons — — — = c* : on obtiendra

w^=7ci hr\/

expression qui reste réelle pour des valeurs quelconques de X , et d'oïl l'on déduit , pour l'aire totale de l'ellipsoïde aplati,

.«[A'-t-fllog(i±^)]- Quand czzzo, on trouve que l'expression

a pour valeur a , et l'on retombe encore de cette manière sur l'expression de la surface de la sphère.

La surface annulaire engendrée par la révolution dn cercle MNM'N' {Jig. 74) a pour valeur

c'est-à-dire le produit des deux circonférences dont les rayons sont r et R.

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